\documentclass{book}

\usepackage[hmargin=1cm,vmargin=2cm]{geometry}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{enumerate}

\usepackage{ntheorem}
\usepackage{relsize}
\usepackage{euscript}

\theoremstyle{change}
\theorembodyfont{\upshape}
\theoremsymbol{\ensuremath{\ast}}
\theoremseparator{}
\newtheorem{exer}{Gyakorlat}
\newtheorem{soln}{Megoldás}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{defn}{Definíció}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Tétel}

\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremheaderfont{\sc}
\theoremseparator{}
\newtheorem{proof}{Bizonyítás}

\newcommand{\exercises}{\begin{center}{\sc Gyakorlatok}\end{center}}

%\long\def\bsol#1\esol{} 
\newcommand{\bsol}{\begin{soln}}
\newcommand{\esol}{\end{soln}}

% Testek
\newcommand{\fld}[1]{\mathcal{#1}}
% Vektorterek
\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}%
              {<-> s * [0.900] pzcmi7t}{}
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}%
                                 {m}{it}
\newcommand{\vs}[1]{\EuScript{#1}}

\newcommand{\Zero}{\vs{O}}
\newcommand{\Int}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Real}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cmplx}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Rati}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Poli}{\vs{P}}

% Begin sub-exercise enumeration
\newcommand{\bsubex}{\begin{enumerate}[(a)]}
\newcommand{\esubex}{\end{enumerate}}

\begin{document}

\copyright 1958 by Litton Educational Publishing, Inc. and 1974, 1987 by Springer-Verlag New York, Inc. \\
Magyar fordítás \copyright 2010, Csirik Mihály

\newpage
%==================================================================================================
\section{Előszó}
%==================================================================================================

Az a célom ezzel a könyvvel, hogy a véges dimenziós vektortereken értelmezett lineáris transzformációkat általánosabb elméletek módszereivel mutassam be. A lényeg azoknak a geometriai képeknek a kihangúlyozása, melyek a matematika és az alkalmazott matematika sok területén előfordulnak, és mindennek olyan nyelvezen törtenő kifejtése amely eloszlatja a misztikumot, és bepillantást nyújt azoknak az embereknek a fejébe, akik tételeket bizonytanak integrálegyenletekről és Hilbert-terekről. Az olvasonak persze nem kell ezzel a motivációval egyetértenie. Néhany egyetemi matematikai hivatkozástól eltekintve a könyv nem tartalmaz külső utalásokat, bárki olvashatja aki szeretné jobban megérteni a feladatokat, amiket lineáris algebra vagy felsőbb algebra kurzusokon kerülnek elő. Az algebrai, koordináta-mentes módszer nem veszít sem hatékonyságából, sem szépségéből azzal, hogy csak véges sok dimenzióra szorítkozunk, és, hitem szerint ugyanannyira elemi, mint a klasszikus, koordinátákkal való tárgyalás.

Eredetileg pontosan azokat a tételeket akartam, hogy tartalmazza a könyv, amelyeknek van végtelen dimenziós általánosítása. Néhány véges dimenziós fogalom csábító egyszerűségének azonban nem tudtam ellenállni, így a végeredményben az előbbi elhatározásom csak nyomai láthatóak. Az általánosítható eredmények végig a tárgyalás középpontjában állnak, az éles eredmények kevésbé. Az olvasó gyakran találhat egyszerűsítési lehetőséget a bizonyításokban, ezekben az esetekben esélyes, hogy a lerövidített verzió végtelen dimenziós bizonyítása hosszabb, vagy éppenséggel nemlétező.

A feladatok (jóval több, mint száz van belőlük) a legjelentősebb kiegészítése az eredeti jegyzetnek; remélem a tanuló és a tanár is egyaránt értelmesnek találja őket. Két dolgot kell tudnia velük kapcsolatban az olvasónak. Elsőként, ha egy feladat szövege sem nem felszólító (,,bizonyítsuk be...''), sem nem kérdő (,,igaz-e az, hogy...''), hanem pusztán kijelentő, akkor az egy kihívás. Az ilyen feladatoknál az olvasónak kell felfedeznie hogy az állítás igaz-e, bebizonyítania ha igaz, vagy ellenpéldát konstruálnia ha hamis, és, a legfontosabb, diszkutálnia a feltételek és a következmények azon változatait amelyek az igazakat hamisakká teszik és a hamisakat igazzá. Másodjára, a feladatok nem mindig a legsegítőkészebb kontextusban vannak elhelyezve. Gyakran egy fogalom bevezetése után rögtön, éppen a gyors megoldást lehetővé tevő gépezet bevezetése elé kerülnek. Ha az olvasó megpróbál egy ilyen ,,elkeveredett'' feladatot megoldani (mégha sikertelenül is), valószínűbb, hogy sokkal jobban fogja értékelni és érteni az elkövetkező fejleményeket -- a próbálkozása miatt. 

Egyetlen tétel sem, és a feladatok közül is csak nehány a saját találmányom; többségüket a dolgozó matematikusok többsége ismeri, és már régóta ismeretesek. Ugyan nem adok részletes irodalomjegyzéket, tisztában vagyok azzal, hogy adós vagyok azoknak a könyveknek és cikkeknek amelyekből tanultam, és azoknak a barátoknak és idegeneknek, akik értékes bíztatással és kritikával láttak el az első kiadás előtt és után. Különösképpen hálás vagyok három embernek: J. L. Doob-nak és Arlen Brown-nak, akik az első és a második verzió kéziratát olvasták el, sok hasznos tanáccsal láttak el, Neumann Jánosnak, aki egyik kezdemenyézője a modern szemléletnek és módszereknek amelyeket próbálok bemutatni és akinek a tanításai ihlették ezt a könyvet.

\begin{flushright}
P. R. H.
\end{flushright}

%==================================================================================================
%==================================================================================================
					\chapter{Terek}
%==================================================================================================
%==================================================================================================


%==================================================================================================
\section{Testek}
%==================================================================================================
Az alábbiakban alkalmunk lesz hasznalni bizonyos számhalmazokat (például az összes valós szám halmaza, vagy az összes komplex szám halmaza). Mivel ebben a korai szakaszban még nem szabadna elköteleznünk magunkat semmilyen speciális számhalmaz mellett, úgy fogunk kitérni a probléma elől, hogy a számokra mint \emph{skalárokra} hivatkozunk. Az olvasó nem fog semmi létfontosságú dologból kimaradni, ha a skalárokat következetesen valós vagy komplex számoknak érti; a feladatokban mindkét halmaz elő fog bukkanni. Konkrétabban (és azért hogy a megfelelő általánossággal dolgozzunk), most következik egy lista a skalárok tulajdonságairól általában, amelyeket feltételezni fogunk a továbbiakban.

\begin{enumerate}[(A)]

\item \label{field_add} Minden $(\alpha, \beta)$ skalárokból álló párnak megfeleltethető egy $\alpha+\beta$ skalár, amelyet $\alpha$ és $\beta$ \emph{összegének} nevezünk, oly módon, hogy
	\begin{enumerate}[(1)]
	\item az összeadás kommutatív, $\alpha+\beta=\beta+\alpha$,
	\item az összeadás asszociatív, $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$,
	\item létezik pontosan egy $0$-val jelölt skalár (\emph{zérusnak} is nevezik), úgy, hogy $\alpha+0=\alpha$ minden $\alpha$ skalár esetén, és végül
	\item minden $\alpha$ skalárhoz egyértelműen hozzárendelhető egy $-\alpha$ skalár, úgy, hogy $\alpha + (-\alpha) = 0$.
	\end{enumerate}
	
	\item \label{field_mul} Minden $(\alpha, \beta)$ skalárokból álló párnak megfeleltethető egy $\alpha\beta$ skalár, melyet $\alpha$ és $\beta$ szorzatának nevezünk, oly módon, hogy
	\begin{enumerate}[(1)]
	\item a szorzás kommutatív, $\alpha\beta=\beta\alpha$,
	\item a szorzás asszociatív, $\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma$
	\item egyértelműen létezik egy $1$-gyel jelölt nem-zérus skalár, úgy, hogy $\alpha 1=\alpha$ minden $\alpha$ skalár esetén, és
	\item minden nem-zérus $\alpha$ skalárhoz egyértelműen hozzárendelhető egy 
		$\alpha^{-1}$ (vagy $\frac{1}{\alpha}$) skalár, úgy, hogy $\alpha\alpha^{-1}=1$.
	\end{enumerate}
	\item \label{field_dist} A szorzás disztributív az összeadásra nézve, $\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$.
\end{enumerate}

Amennyiben az összeadás és a szorzás az elemek (skalárok) valamilyen halmazán belül van értelmezve, és az (\ref{field_add}), (\ref{field_mul}) és (\ref{field_dist}) feltételek is teljesülnek, akkor ezt halmazt (az említett két művelettel együtt) \emph{testnek} nevezzük. Tehát például az összes racionális szám $\Rati$ halmaza (a közönséges összeadással és szorzással) test, és ugyanez igaz az összes valós szám $\Real$ halmazára, és a összes komplex szám $\Cmplx$ halmazára is.

\exercises

\begin{exer}
Majdnem minden elemi számolási szabály a testet definiáló (\ref{field_add}), (\ref{field_mul}) és (\ref{field_dist}) axiómák következménye. Konkrétabban, bizonyítsuk be, hogy ha $\fld{F}$ test, és $\alpha, \beta$, és $\gamma$ $\fld{F}$-hez tartoznak, akkor az alábbi összefüggések igazak.
\bsubex
	\item $0+\alpha=\alpha$.
	\item Ha $\alpha+\beta=\alpha+\gamma$, akkor $\beta=\gamma$.
	\item $\alpha+(\beta-\alpha)=\beta$. (Itt $\beta-\alpha=\beta+(-\alpha)$.)
	\item $\alpha\cdot 0=0\cdot\alpha=0$. (Az egyértelműség vagy a hangsúly kedvéért néha ponttal jelöljük a szorzást.)
	\item $(-1)\alpha=-\alpha$.
	\item $(-\alpha)(-\beta)=\alpha\beta$.
	\item Ha $\alpha\beta=0$, akkor vagy $\alpha=0$ vagy $\beta=0$, vagy mindkettő.
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Igaz-e, hogy a nemnegatív egészek halmaza test?
	\item Mi a helyzet az egészek halmazával?
	\item Ha másképpen értelmezzük az összeadást vagy a szorzást (vagy mindkettőt), lehet-e más a fenti kérdésekre a válasz?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\label{exer:zm}
Adott egy $m\geq 2$ egész szám, akkor legyen $\Int_m$ az összes $m$-nél kisebb nemnegatív egészek halmaza: $\Int_m=\{0,1,\ldots,m-1\}$. Ha $\alpha,\beta\in\Int_m$, akkor jelölje $\alpha+\beta$ azt a legkisebb nemnegatív maradékot, amelyet úgy kapunk, hogy az $\alpha$ és $\beta$ szokványos összegét vesszük és ezt elosztjuk $m$-mel, és hasonló módon, legyen $\alpha\beta$ az a legkisebb nemnegatív maradék, amelyet úgy kapunk, hogy az $\alpha$ és $\beta$ szokványos szorzatát elosztjuk $m$-mel. (Például ha $m=12$, akkor $3+11=2$ és $3\cdot 11=9$.)
\bsubex
	\item Bizonyítsuk be, hogy $\Int_m$ pontosan akkor test, ha $m$ prím.
	\item Mi $\Int_m$-ben $-1$?
	\item Mi $\Int_m$-ben $\tfrac{1}{3}$?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
A $\Int_p$ példája mutatja (ahol $p$ prím), hogy a elemi számolási szabályok nem mindegyike marad igaz testekben; például $\Int_2$-ben $1+1=0$. Bizonyítsuk be, hogy ha $\fld{F}$ test, akkor az $1$-et egymásután összeadva az összeg vagy mindig különbözik $0$-tól, vagy az első alkalommal amikor $0$ az összeg, az összeadandók száma prím. (Az $F$ test \emph{karakterisztikája} az első esetben $0$-nak van definiálva, a második esetben pedig az a bizonyos kritikus prím.)
\end{exer}

\begin{exer}
Legyen $\Rati(\sqrt{5})$ az összes $\alpha+\beta\sqrt{2}$ alakú valós számok halmaza, ahol $\alpha$ és $\beta$ racionálisak.
\bsubex
	\item $\Rati(\sqrt{5})$ test-e?
	\item Mi van akkor, ha megköveteljük, hogy $\alpha$ és $\beta$ egészek legyenek?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Az egészegyütthatós polinomok testet alkotnak?
	\item Mi van akkor, ha megengedjük, hogy az együtthatók valósak legyenek?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
Legyen $\fld{F}$ a (rendezett) valós $(\alpha,\beta)$ számpárok halmaza.
\bsubex
	\item Ha az összeadást és a szorást a 
	\[
		(\alpha,\beta)+(\gamma,\delta)=(\alpha+\gamma,\beta+\delta),
	\]
	valamint a
	\[
		(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)=(\alpha\gamma,\beta\delta)
	\]
	relációkkal definiáljuk, test lesz-e $\fld{F}$?
	
	\item Ha az összeadást és a szorást a
	\[
		(\alpha,\beta)+(\gamma,\delta)=(\alpha+\gamma,\beta+\delta),
	\]
	valamint a
	\[
		(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)=(\alpha\gamma-\beta\delta,\alpha\delta+\beta\gamma)
	\]
	relációkkal definiáljuk, test-e $\fld{F}$ így?
	
	\item Mi történik, ha a fenti két esetben komplex számpárokat tekintünk?
\esubex
\end{exer}

%==================================================================================================
\section{Vektorterek}
%==================================================================================================
Elérkezünk a könyv alapfogalmához. A következő definícióban feltételezzük, hogy adott egy $\fld{F}$ test; a skalárokként fogunk hivatkozni $\fld{F}$ elemeire.

\begin{defn} 
Egy $\vs{V}$ halmaz \emph{vektortér}, és az elemeit \emph{vektoroknak} nevezzük, ha kielégíti a következő axiómákat.
\begin{enumerate}[(A)]

\item \label{vec:add} Minden $(x,y)$ vektorpárhoz, ha $x$ és $y$ a $\vs{V}$ halmazhoz tartozik, hozzárendelhető egy $x+y$ $\vs{V}$-beli vektor, amelyet $x$ és $y$ \emph{összegének} nevezzük, úgy, hogy
	\begin{enumerate}[(1)]
	\item az összeadás kommutatív, $x+y=y+x$,
	\item az összeadás asszociatív, $x+(y+z)=(x+y)+z$,
	\item $\vs{V}$-ben létezik pontosan egy $0$ vektor (\emph{origónak} is nevezzük), amelyre az teljesül, 
		hogy $x+0=x$ minden $x$ vektorra a $\vs{V}$-ből, és
	\item minden $\vs{V}$-beli $x$ vektorhoz egyértelműen hozzárendelhető egy $-x$ vektor a $\vs{V}$-ben, oly módon, hogy $x+(-x)=0$.
	\end{enumerate}

\item \label{vec:mul} Minden $(\alpha,x)$ párnak, ahol $\alpha$ skalár és $x$ vektor a $\vs{V}$-ből, megfelel egy $\alpha x$ vektor a $\vs{V}$-ben, amelyet az $\alpha$ és az $x$ \emph{szorzatának} nevezünk, továbbá igaz az, hogy
	\begin{enumerate}[(1)]
	\item a skalárokkal való szorzás asszociatív, $\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x$, és
	\item $1x=x$ minden $x$ vektorra.
	\end{enumerate}

\item \label{vec:dist}
	\begin{enumerate}[(1)]
	\item A skalárral való szorzás disztributív a vektorok összeadására nézve, $\alpha(x+y)=\alpha x + \alpha y$, és
	\item a vektorral való szorzás disztributív a skalárok összeadására nézve, $(\alpha+\beta)x=\alpha x + \beta x$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{defn}

Azt nem állítjuk, hogy az ezek az axiómák logikailag függetlenek lennének; pusztán egy kényelmes jellemzését szolgáltatják a vizsgálni kivánt objektumnak. A $\vs{V}$ vektortér és mögötte lévő $\fld{F}$ test közötti kapcsolatot úgy szokás kifejezni, hogy $\vs{V}$ egy vektortér $\fld{F}$ \emph{fölött}. Amennyiben $\fld{F}$ a valós számok $\Real$ teste, úgy $\vs{V}$-t \emph{valós vektortérnek} nevezzük; hasonlóképpen, ha $\fld{F}$-et $\Rati$-nak vagy $\Cmplx$-nek választjuk, \emph{racionális vektorterekrről}, vagy \emph{komplex vektorterről} beszélünk.

%==================================================================================================
\section{Példák}
%==================================================================================================

Mielőtt az axiómák következményeit fejtegetnénk, adunk néhany példát. Újra és újra hivatkozni fogunk rájunk, és az itt bevezetett jelöléseket a későbbi munkánk során is használni fogjuk.

\begin{enumerate}[(1)]

\item \label{excx} Legyen $\Cmplx^1$($=\Cmplx$) a komplex számok halmaza; ha $x+y$ és $\alpha x$ szokványos komplex összeadás és szorzás értelmezést választjuk, $\Cmplx^1$ vektortér lesz.

\item \label{expol} Legyen $\Poli$ az összes komplexegyütthatós polinom halmaza. Hogy $\Poli$-t vektortérré tegyük, a vektorok összeadását és a skalárral való szorzását a szokványos polinomösszeadásnak és polinom komplex számmal való szorzásának értelmezzük; az origó pedig legyen az azonosan nulla polinom.
Az (\ref{excx}) példa túl egyszerű, a (\ref{expol}) példa pedig túl bonyolúlt, hogy a könyv tartalmához illő, jellegzetes példa legyen.

\item \label{excn} Legyen $\Cmplx^n$, $n=1,2,\ldots$, a komplex számokból álló $n$-esek halmaza. Ha $x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ és $y=(\eta_1,\ldots,\eta_n)$ $\Cmplx^n$ elemei, akkor definícióként írhatjuk
\begin{align*}
	x+y 		&= (\xi_1+\eta_1,\ldots,\xi_n+\eta_n), \\
	\alpha x 	&= (\alpha\xi_1,\ldots,\alpha\xi_n), \\
	0 		&= (0,\ldots,0), \\
	-x 		&= (-\xi_1,\ldots,-\xi_n).
\end{align*}
Könnyű ellenőrizni, hogy az (\ref{vec:add}), (\ref{vec:mul}), (\ref{vec:dist}) axiómák minden része teljesül, így $\Cmplx^n$ vektortér; \emph{$n$-dimenziós komplex koordinátatérnek} fogjuk nevezni.

\item Minden pozitív $n$ egészre legyen $\Poli_n$ az összes (komplex együtthatós, mint a (\ref{expol}) példában) polinom halmaza, amelyek foka $\leq n-1$, beleértve az azonosan nulla polinomot is. (A fokszám szokványos tárgyalásában ennek a polinomnak a foka nincs definiálva, úgyhogy nem mondhatjuk hogy a foka $\leq n-1$.)\footnote{Ford.: Definiáljuk $-\infty$-nek.} Az összeadás és a szorzás ugyanolyan értelmezésével, mint (\ref{expol})-ben, $\Poli_n$ komplex vektortérré válik.

\item \label{exrn} $\Cmplx^n$ közeli rokona $\Real^n$, az valós számokból álló $n$-esek halmaza. Ugyanazokkal a formális definíciókkal, mint $\Cmplx^n$ esetében, kivéve hogy most csak valós $\alpha$ skalárokat fogadunk el, az $\Real^n$ tér valós vektortér; \emph{$n$-dimenziós valós koordinátatérnek} fogjuk nevezni.

\item A fenti példák mindegyike általánosítható. Tehát például kézenfekfő azt mondani az (\ref{excx}) általánosításaként, hogy minden $\fld{F}$ test vektortér önmaga fölött. Egy sokásos általánosítása (\ref{excn})-nak és (\ref{exrn})-nek egy tetszőleges $\fld{F}$ testből indul ki, és veszi az $\fld{F}$ elemeiből álló $n$-esek $\fld{F}^n$ halmazát; a lineáris műveletek ugyanazok mint az $\fld{F}=\Cmplx$ esetben.

\item Egy testnek definíció szerint legalább két eleme van; egy vektortérnek viszont lehet egy is. Mivel minden vektortér tartalmaz egy origót, alapvetően (értsd: a jelölés erejéig) egy vektortér van, ami csak egy vektort tartalmaz. Ennek az igen triviális vektortérnek a jelölése: $\Zero$.

\item\label{exrealrati} Ha $\Real$-en az összeadást szokásos módon definiáljuk, és egy valós szám és egy racionális szorzatát szintén a szokásos módon, akkor $\Real$ racionális vektortér lesz.

\item\label{excoverr} Ha $\Cmplx$-en az összeadást szokásos módon definiáljuk, és egy komplex szám és egy valós szorzatát szintén a szokásos módon, akkor $\Cmplx$ valós
vektortér lesz. (Hasonlítsuk össze (\ref{excx})-gyel; igencsak különböznek.)
\end{enumerate}

%==================================================================================================
\section{Megjegyzések}\label{sec:comments}
%==================================================================================================

Nehány, az axiómákra és a jelölésekre vonatkozó megjegyzés még várat magára. Meglepő hasonlóságok (és ugyanennyire meglepő különbségek) vannak a testaxiómák és a test feletti vektortér axiómák között. Mindkét esetben az (\ref{vec:add}) axiómák a rendszer additív struktúráját írják le, (\ref{vec:mul}) axiómák a multiplikatív struktúrát, (\ref{vec:dist}) axiómák a két struktúra közötti kapcsolatot rögzítik. Azon olvasók akik ismerik az algebrai szakkifejezéseket, felismerhették, hogy (\ref{vec:add}) axiómak valójában az abeli (kommutatív) csoport definiáló feltételei; a (\ref{vec:mul}) és (\ref{vec:dist}) axiómák (a vektortereknél) azt a tényt fejezik ki, hogy a skalárokat a csoport műveletekként kezeli. Futólagosan megemlítjük, hogy ha a skalárok egy gyűrű elemei (test helyett), akkor a vektortérnek megfelelő általános fogalom \emph{modulus}.

Bizonyos speciális valós vektorterek (mint $\Real^2$ és $\Real^3$) már ismerősek geometriából. Ezen a ponton úgy tűnhet nincs oka az $\Real$-től különböző testekhez való, látszólag indokolatlan ragaszkodásunknak, különösen a komplex számok $\Cmplx$ testéhez. Reméljük az olvasó egyszerűen csak elhiszi azt, hogy fel fogjuk használni a komplex számok mély tulajdonságait a későbbiekben (konjugálás, algebrai zártság), és hogy a komplex számok fontos szerepet játszanak a vektorterek modern (kvantummechanikai) fizikában való alkalmazásában, és az itt bemutatott eredmenyek Hilbert-terekre való általánosításában. Az egyik fő hátrányuk a képek rajzolásának nehézsége; $\Cmplx^1$ szokásos képe (Argand diagramm) megkülönböztethetetlen az $\Real^2$-étől, és $\Cmplx^2$ grafikus megjelenítése úgy tűnik az emberi határokon túl van. Bizonyos alkalmakkor, amikor a képi nyelvet kell használnunk, $\Cmplx^n$-ben az $\Real^n$-ben megszokott terminológiát használjuk, és úgy kezeljük $\Cmplx^2$-t mintha egy sík lenne.

Végül megjegyzéseket teszünk a jelölésekre. Vegyük észre, hogy a $0$ szimbólumot kétféle értelemben használtuk: egyszer mint egy vektort, egyszer mint egy skalárt. Hogy mégrosszabb legyen a helyzet, később, amikor bevezetjuk a lineáris funkcionálokat és a lineáris transzformációkat, megint más jelentést fogunk neki adni. Szerencsére a $0$ különböző értelmezései közötti összefüggések olyanok, hogy e figyelmeztetés után ez a szokás nem fog zűrzavart okozni.

\exercises

\begin{exer}
Bizonyítsuk be, hogy ha $x$ és $y$ vektorok és $\alpha$ skalár, akkor az alábbi összefüggések teljesülnek.
\bsubex
	\item $0+x=x$.
	\item $-0=0$.
	\item $\alpha\cdot 0 = 0$.
	\item $0\cdot x = 0$.
	(Figyeljük meg, hogy ugyanazt a szimbólumot használtuk az egyenlet mindkét oldalán; a bal oldalon skalárt jelent, a jobbon vektort.)
	\item Ha $\alpha x =0$, akkor vagy $\alpha=0$, vagy $x=0$, vagy mindkettő.
	\item $-x=(-1)x$.
	\item $y+(x-y)=x$. (Itt $x-y=x+(-y)$.)
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
Ha $p$ prím, akkor $\Int^n_p$ vektortér $\Int_p$ felett (v.ö. \ref{exer:zm}). Hány vektor van ebben a vektortérben?
\end{exer}

\begin{exer}
Legyen $\vs{V}$ a valós számpárok halmaza. Ha $x=(\xi_1,\xi_2)$ és $y=(\eta_1,\eta_2)$, akkor
\begin{align*}
        x+y             &= (\xi_1+\eta_1,\xi_2+\eta_2), \\
        \alpha x        &= (\alpha\xi_1,0), \\
        0               &= (0,0), \\
        -x              &= (-\xi_1,-\xi_2).
\end{align*}
Vektortér lesz-e $\vs{V}$ a lineáris műveletek ezen definícióival? Miért?
\end{exer}

\begin{exer}
Néha a vektortér egy részhalmaza maga is vektortér (a már meglévő lineáris műveletekre nézve). Vegyük például a $\Cmplx^3$ vektorteret, és tekintsük azon $\vs{V}$ részhalmazait a $\Cmplx^3$-nek, amelyekben a $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ vektorokra az teljesül, hogy
\bsubex
	\item $\xi_1$ valós,
	\item $\xi_1=0$,
	\item $\xi_1=0$ vagy $\xi_2=0$,
	\item $\xi_1+\xi_2=0$,
	\item $\xi_1+\xi_2=1$.
\esubex
Melyik esetekben vektortér $\vs{V}$?
\end{exer}

\begin{exer}
Vegyük a $\Poli$ vektorteret, és nézzük $\Poli$ azon $\vs{V}$ részhalmazait, amelyek olyan $x$ vektorokból (polinomokból) állnak, hogy 
\bsubex
	\item $x$ foka 3,
	\item $3x(0)=x(1)$,
	\item $x(t)\geq 0$ amikor $0\geq t\geq 1$,
	\item $x(t)=x(1-t)$ minden $t$-re.
\esubex
Melyik esetekben vektortér $\vs{V}$?
\end{exer}

%==================================================================================================
\section{Lineáris összefüggőség}\label{sec:lindep}
%==================================================================================================

Most, hogy leírtuk azokat a tereket amelyekkel dolgozni fogunk, meg kell határoznunk a terek elemei közti viszonyokat melyek érdekesek lehetnek számukra.

A szumma jelöléssel kapcsolatos néhány szóval kezdjük. Ha egy indexhalmaz minden $i$ elemének megfelel egy $x_i$ vektor, és ha nem szükséges, vagy nem kényelmes meghatározni expliciten az indexhalmazt, pongyola módon egyszerűen csak $\{x_i\}$ vektorhalmazról fogunk beszélni. (Megengedjük az az eshetőséget, hogy ugyanannak a vektornak két különböző index felel meg. Öszintén szólva, tehát, azt kellene mondanunk, hogy nem az fontos hogy mely vektorok vannak $\{x_i\}$-ben, hanem hogy milyen indexszel szerepelnek.) Ha a szóbanforgó indexhalmaz véges, akkor a megfelelő vektorok összegére a $\sum_i x_i$ jelölést fogjuk használni (vagy, ha a szükség úgy kívanja, a világosabb $\sum_{i=1}^n x_i$ jelet használjuk). Hogy elerüljük a gyakori és fontoskodónak ható esetszétválasztásokat, okos gondolatnak tűnik, hogy az általános elméletbe belevegyük az olyan $\sum_i x_i$ összegeket is amelyekben nincsen $i$ index aminek megfelelően összegezni kéne, pontosabban olyankor is amikor az indexhalmaz üres. (Ebben az esetben természetesn nincs összegezni való vektor, pontosabban az $\{x_i\}$ halmaz szintén üres.)  Az ilyen ,,üres szummák'' összegét elég természetes módon a $0$ vektornak definiáljuk. 

\begin{defn}
Egy véges $\{x_i\}$ vektorhalmaz \emph{lineárisan összefüggő}, létezik egy megfelelő skalárokból álló $\{\alpha_i\}$ halmaz, amelynek nem minden eleme zérus, hogy
\[
	\sum_i \alpha_i x_i = 0
\]
Másrészt, ha $\sum_i \alpha_i x_i = 0$-ból következik hogy $\alpha_i=0$ minden $i$-re, akkor az $\{x_i\}$ halmaz \emph{lineárisan független}.
\end{defn}

A definíciót szándékosan úgy fogalmaztuk meg, hogy az üres halmaz esetét is lefedje; ez az eset, ugyan némileg ellentmondásos, jól illeszkedik az elméletbe. Az történik ilyenkor ugyanis, hogy az üres halmaz lineárisan független. Valóban, ha nincs egyetlen $i$ index sem, akkor lehetetlen párat kiválasztani közülük és egy-egy hozzájuk rendelt skalárral megszorozni őket, hogy ezen vektorok összege eltűnjön. A probléma nem a zérus hozzárendelésének elkerülésével van, hanem azzal, hogy találjunk egy indexet amihez egyáltalán hozzá lehet rendelni valamit. Megjegyezzük, hogy ez az érvelés azt mutatja, hogy az üres halmaz nem lineárisan összefüggő; azon olvasoknak akik még nem ismerkedtek meg az ,,üres implikációval'', a lineáris függetlenség és a lineáris összefüggőség nyilvánvaló tagadásának ekvivalenciája némi intuitív indoklást igényélhet.\footnote{Ford.: $\neg(\sum_i \alpha_i x_i = 0 \Rightarrow \forall i\, \alpha_i=0) \Leftrightarrow (\sum_i \alpha_i x_i = 0 \wedge \exists i\, \alpha_i\neq 0)$.}A legegyszerűbben úgy lehet az olyasfajta állításokat mint ,,$\sum_i \alpha_i x_i = 0$ esetén $\alpha_i=0$ minden $i$-re'' megérteni ha nincsenek $i$ indexek, hogy átírjuk úgy, hogy ,,$\sum_i \alpha_i x_i = 0$ esetén nem létezik $i$ index hogy $\alpha_i\neq0$''. Ez nyilván igaz ha nincs egyáltalán $i$ index.

A lineáris összefüggőség és a függetlenség egy vektorokhalmaz tulajdonságai; szokás viszont a melléknevekkel a vektorokat magukat illetni, tehát néha azt mondjuk hogy ,,lineárisan független vektorok halmaza'', ahelyett hogy ,,linárisan független vektorhalmaz''. Hasonlóképpen kényelmes lehet nem feltétlenül véges $\vs{X}$ halmaz lineáris összefüggőségéről vagy függetlenségéről beszélni. Azt mondjuk, hogy $\vs{X}$ lineárisan független, ha $\vs{X}$ minden véges részhalmaza lineárisan független; egyébként $\vs{X}$ lineárisan összefüggő.

Avégett, hogy a lineáris összefüggőség intuitív jelentésével ismerkedjünk, tanulmányozzuk a vektorterekre már korábban adott példákat.
\begin{enumerate}[(1)]
	\item Ha $x$ és $y$ bármely két vektor $\Cmplx^1$-ből, akkor $x$ és $y$ lineárisan összefüggő halmazt alkotnak. Az $x=y=0$ esetben ez triviális; 
		ellenkező esetben például azt tudjuk mondani, hogy $yx+(-x)y=0$. Mivel az világos, hogy minden lineárisan összefüggő halmazt tartalmazó 
		halmaz maga is lineárisan összefüggő, ebből az következik hogy $\Cmplx^1$ minden egynél több elemet tartalmazó halmaza lineárisan összefüggő.
	\item Érdekesebb a helyzet $\Poli$ térben. Például az $x$, $y$ és $z$ vektorok,
		\begin{align*}
			x(t) &= 1-t, \\
			y(t) &= t(1-t), \\
			z(t) &= 1-t^2,
		\end{align*}
		linárisan összefüggőek, ugyanis $x+y-z=0$. Ám az
		\[
			x_0(t)=1,\,x_1(t)=t,\,x_2(t)=t^2,\ldots
		\]
		vektorok végtelen $x_0,x_1,x_2,\ldots$ halmaza lineárisan független, ugyanis ha lenne egy olyan alakú kifejezésünk mint
		\[
			\alpha_0 x_0 + \alpha_1 x_1 + \ldots + \alpha_n x_n = 0,
		\]
		akkor következő polinomazonosságot kapnánk:
		\[
			\alpha_0 + \alpha_1 t + \ldots + \alpha_n t^n = 0,
		\]
		amiből
		\[
			\alpha_0=\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0.
		\]
	\item Már korábban említettük, hogy a $\Cmplx^n$ terek protípusként szolgálnak a tanulmányainkhoz; vizsgáljuk meg például az $n=3$ esetet.
		A térgeometriával már megismerkedett olvasóknak a lineáris összefüggőség fogalmanak (helyesebben szólva a tér valós analógiájában, 
		$\Real^3$-ban) konkrét geometriai jelentése van, de erről csak említést fogunk tenni.
		A geometriában pontosan akkor lineárisan összefüggő két vektor ha az origóval együtt kollineárisak, és pontosan akkor lineárisan összefüggő
		három vektor, ha az orgióval együtt koplanárisak. (Ha a vektorokat nem pontoknak tekintjük, hanem az origóból a pontokba mutató nyilaknak,
		előző mondantot úgy kell módosítani, hogy az ,,origóval együtt'' szavakat mindkét alkalommal kihúzzuk.) Most bevezetjük a lineáris alterek
		fogalmát, alkalmanként ezen geometriai megfontolások által sugallt nyelvezetet használjuk.
\end{enumerate}

%==================================================================================================
\section{Lineáris kombinációk}
%==================================================================================================

Azt fogjuk mondani ha $x=\sum_i \alpha_i x_i$, hogy $x$ \emph{lineáris kombinációja} $\{x_i\}$-nek; bármiféle további magyarázat nélkül alkalmazni fogjuk ezen terminológia egyszerű nyelvtani következményeit. Tehát abban az esetben, hogy $x$ lineáris kombinációja $\{x_i\}$-nek, azt fogjuk mondani, hogy $x$ \emph{lineárisan összefügg} $\{x_i\}$-vel; az olvasóra bízzuk annak a bizonyítását, hogy ha $\{x_i\}$ lineárisan független, akkor ahhoz, hogy $x$ lineáris kombinációja lengyen $\{x_i\}$-nek, szükséges és elégséges az, hogy a megnövelt halmaz, amit $\{x_i\}$ és $x$ uniójából kapunk, linárisan összefüggő legyen. 

A következő tétel a lineáris összefüggőséggel kapcsolatos alapvető eredmény. 

\begin{thm} \label{thm:lindep}
Az $\{x_1,\ldots,x_n\}$ nemzérus vektorok halmaza akkor és csak akkor összefüggő, ha bármely $x_k$, $2\leq k\leq n$, az őt megelőzők lineáris kombinációja.
\end{thm}
\begin{proof}
Tegyük fel, hogy az $x_1,\ldots,x_n$ vektorok lineárisan összefüggőek, és legyen $k$ az első egész $2$ és $n$ között, amire az $x_1,\ldots,x_k$ lineárisan összefüggő. (A legrosszabb esetben a feltevésünk garantálja, hogy $k=n$ jó lesz.) Ekkor
\[
	\alpha_1 x_1 + \ldots + \alpha_k x_k = 0
\]
megfelelő $\alpha_i$-kre (nem mind nulla); továbbá bármik is legyenek az $\alpha_i$-k, nem lehet $\alpha_k=0$, ugyanis akkor egy $\alpha_1 x_1 + \ldots + \alpha_{k-1} x_{k-1}=0$ összefüggőségi relációnk lenne, ellentmondva $k$ definíciójának. Tehát
\[
	x_k = \frac{-\alpha_1}{\alpha_k} x_1 + \ldots + \frac{-\alpha_{k-1}}{\alpha_k} x_{k-1},
\]
és ezt kellett bizonyítanunk. Ez bizonyítja a feltételünk szükségességét; az elégségesség világos, ugyanis ahogyan azt már korábban megjegyeztük, minden halmaz ami tartalmaz lineárisan összefüggő részhalmazt, maga is összefüggő.
\end{proof}

%==================================================================================================
\section{Bázisok}
%==================================================================================================

\label{sec:basis}

\begin{defn}
Egy $\vs{V}$ vektortér (lineáris) \emph{bázisa} (vagy \emph{koordinátarendszere}) lineárisan független vektorok olyan $\vs{X}$ halmaza, hogy $\vs{V}$-ben lévő minden vektor $\vs{X}$ elemeinek lineáris kombinációja. Egy $\vs{V}$ vektortér \emph{véges dimenziós}, ha van véges bázisa.
\end{defn}
Bizonyos feladatok alkalmankénti tárgyalásától eltekintve ebben a könyvben figyelmünket a véges dimenziós vektorterekre szűkítjük.

A példák után újra a $\Poli$ és $\Cmplx^n$ terekhez fordulunk. $\Poli$-ben az $\{x_i\}$ halmaz, ahol $x_n(t)=t^n$, $n=0,1,2,\ldots$, bázis; definicíció szerint minden polinom véges sok $x_n$ lineáris kombinációja. Továbbá $\Poli$-nak nincs véges bázisa, ugyanis ha adott polinomok egy véges halmaza, létezek mindegyiknél magasabb fokú polinom; nyilván ez utóbbi nem lináris kombinációja az előbbieknek. 

$\Cmplx^n$-ben egy bázisra példaképpen legyen az $x_i$ vektorhalmaz, $i=1,\ldots,n$, amelynek az $i$-edik elemét úgy definiáljuk, hogy a $j$-edik koordinátája legyen $\delta_{ij}$. (Itt használjuk először a Kronecker $\delta$-t; amit úgy definiálunk, hogy $\delta_{ij}=1$ ha $i=j$ és $\delta_{ij}=0$ ha $i\neq j$.) Tehát azt állítjuk, hogy $\Cmplx^3$-ben a $x_1=(1,0,0)$, $x_2=(0,1,0)$ és $x_3=(0,0,1)$ vektorok bázist alkotnak. Könnyű látni hogy linárisan függetlenek; az
\[
	x = (\xi_1,\xi_2,\xi_3) = \xi_1 x_1 + \xi_2 x_2 + \xi_3 x_3
\]
képlet bizonyítja, hogy minden $x$ a $\Cmplx^3$-ban előáll a lineáris kombinációjukként. 

Egy általános véges dimenziós $\vs{V}$ vektortérben, adott $\{x_1,\ldots,x_n\}$ bázis mellett, tudjuk hogy minden $x$ felírható
\[
x = \sum_i \xi_i x_i
\]
alakban; azt állítjuk hogy a $\xi_i$-k egyértelműen meg vannak határozva $x$ által. Ennek az állításnak a bizonyítása egy, a lináris összefüggőség elméletében gyakran használt érvelés. Ha azt is tudjuk mondani, hogy $x=\sum_i \eta_i x_i$, akkor kivonással azt kell kapnunk, hogy
\[
\sum_i (\xi_i - \eta_i) x_i = 0.
\]
Mivel az $x_i$-k lineárisan függetlenek, ebből az következik, hogy $\xi_i-\eta_i=0$ minden $i=1,\ldots,n$-re; másképpen fogalmazva, az $\xi_i$-k ugyanazok mint az $\eta_i$-k. (Vegyük észre, hogy az $n=0$ esetben nem megfelelő $\{x_1,\ldots,x_n\}$-et írni egy $n$ elemű bázis gyanánt. Ennek ellenére gyakran fogjuk használni ezt a jelölést. Amikor ez történik, elméletileg muszáj lenne egy külön tárgyalást is folytatni, ami arra lenne hivatott, hogy a $\Zero$ vektortérrel foglalkozzon. Valójában ezzel a térrel kapcsolatban minden annyira triviális, hogy a részletek nem érdemlik meg a rögzítést, és el is hagyjuk őket.)

\begin{thm}\label{thm:basis}
Ha $\vs{V}$ egy véges dimenziós vektortér, és ha $\{y_1,\ldots,y_m\}$  $\vs{V}$ bármely független részhalmaza, akkor, hacsak az $y_i$-k még nem alkotnak bázist, találhatunk $y_{m+1},\ldots,y_{m+p}$ vektorokat úgy, hogy az $y_i$-k összessége, vagyis $\{y_1,\ldots,y_m,y_{m+1},\ldots,y_{m+p}\}$ bázis. Másképpen fogalmazva, minden linárisan független halmaz kibővíthető bázissá.
\end{thm}
\begin{proof}
Mivel $\vs{V}$ véges dimenziós, van véges bázisa, mondjuk $\{x_1,\ldots,x_n\}$. Vegyük a
\[
	y_1,\ldots,y_m,x_1,\ldots,x_n
\]
vektorok $\vs{S}$ halmazát, ebben a sorrendben, és alkalmazzuk az (\ref{thm:lindep}) tételt egymás után. Először is, $\vs{S}$ lineárisan összefüggő,
ugyanis az $y_i$-k (mint ahogyan minden más vektor is) az $x_k$-k lineáris kombinációja. Ezért $\vs{S}$ valamely vektora a korábbiak lineáris kombinációja; nevezzük az első ilyen vektort $z$-nek. Akkor $z$ minden $y_i$-től különböző (ugyanis $\{y_i\}_{i=1}^m$ lineárisan független), úgyhogy $z$ valamely $x_j$-vel egyenlő. Legyen az új $\vs{S}'$ vektorhalmaz
\[
	\{y_1,\ldots,y_m,x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n\}.
\]
Vegyük észre, hogy minden vektor a $\vs{V}$-ben az $\vs{S}'$ elemeinek lineáris kombinációja, mivel $y_1,\ldots,y_m,x_1,\ldots,x_{j-1}$ segítségével kifejezhető $x_j$, ezután $x_1,\ldots,x_{j-1},x_j,x_{j+1},\ldots,x_n$ segítségével kifejezhető minden vektor. (Az $x_i$-k bázist alkotnak.) Ha $\vs{S}'$ lineárisan független, készen vagyunk. Ha nem, újra és újra alkalmazzuk az (\ref{thm:lindep}) tételt ugyanígy, amíg nem kapunk egy lineárisan független, $\{y_1,\ldots,y_m\}$-et tartalmazó halmazt, amellyel ki tudunk fejezni minden vektort a $\vs{V}$-ben. Az utolsó ilyen halmaz egy $y_i$-ket tartalmazó bázis.
\end{proof}

\exercises

\begin{exer}
\bsubex
	\item Bizonyítsuk be, hogy a következő négy vektor lineárisan összefüggő $\Cmplx^3$-ban:
		\begin{align*}
			x &= (1,0,0), \\
			y &= (0,1,0), \\
			z &= (0,0,1), \\
			u &= (1,1,1),
		\end{align*}
		de közülük bármely három lineárisan független. (Az $x=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$, $y=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$ és $z=(\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3)$
		vektorok $\Cmplx^3$-ban való lináris összefüggőségének eldöntése a következőképpen zajlik. Tegyük fel, hogy található olyan $\alpha$, $\beta$
		és $\gamma$, úgy, hogy $\alpha x + \beta y + \gamma z = 0$. Ez azt jelenti, hogy
	        \begin{align*}
			\alpha\xi_1 + \beta\eta_1 + \gamma\zeta_1 &= 0, \\
                        \alpha\xi_2 + \beta\eta_2 + \gamma\zeta_2 &= 0, \\
                        \alpha\xi_3 + \beta\eta_3 + \gamma\zeta_3 &= 0.
                \end{align*}
		A $x$, $y$ és $z$ vektorok akkor és csak akkor lineáris összefüggőek, ha ezeknek az egyenleteknek van megoldása az $\alpha=\beta=\gamma=0$-n
		kívül.)
	\item Ha az $x$, $y$, $z$ és $u$ $\Poli$-beli vektorokat úgy definiáljuk, hogy $x(t)=1$, $y(t)=t$, $z(t)=t^2$ és $u(t)=1+t+t^2$, lássuk be,
		$x$, $y$, $z$ és $u$ lineárisan összefüggőek, de közülük bármely három lineárisan független.
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
Bizonyítsuk be, ha $\Real$-et racionális vektortérnek fogjuk fel (lásd (\ref{exrealrati})), akkor annak, hogy az $1$ és a $\xi$ vektor az $\Real$-ben lineárisan független legyenek, szükséges és elégséges feltétele az, hogy a $\xi$ valós szám irracionális legyen.
\end{exer}

\begin{exer}
Igaz az, hogy ha $x$, $y$ és $z$ lineárisan függetlenek vektorok, akkor $x+y$, $y+z$ és $z+x$ is azok?
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Milyen, a $\xi$ skaláron tett feltételek mellett lineárisan összefüggő $\Cmplx^2$-ben az $(1+\xi,1-\xi)$ és az $(1-\xi,1+\xi)$ vektor?
	\item\label{exer:r3indep} Milyen, a $\xi$ skaláron tett feltételek mellett lineárisan összefüggő
		$\Real^3$-ben a $(\xi,1,0)$, $(1,\xi,1)$ és a $(0,1,\xi)$ vektor?
	\item Mi a válasz a (\ref{exer:r3indep})-re, ha $\Real^3$ helyett $\Rati^3$-at írunk?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item A $(\xi_1,\xi_2)$ és $(\eta_1,\eta_2)$ $\Cmplx^2$-beli vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha $\xi_1\eta_2=\xi_2\eta_1$.
	\item Keressünk hasonló szükséges és elégséges feltételt két vektor lineáris függetlenségére $\Cmplx^3$. Tegyük ugyanezt három vektorra $\Cmplx^3$-ban.
	\item Van három vektorból álló lineárisan összefüggő halmaza $\Cmplx^2$-nek?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item\label{exer:vander2} Milyen, a $\xi$ és $\eta$ skalárokon tett feltételek mellett lineárisan összefüggő $\Cmplx^2$-ben az 
			$(1,\xi)$ és az $(1,\eta)$ vektor?
	\item\label{exer:vander3} Milyen, a $\xi$, $\eta$ és $\zeta$ skalárokon tett feltételek mellett lineárisan összefüggő 
		$\Cmplx^3$-ben az $(1,\xi,\xi^2)$, $(1,\eta,\eta^2)$ és $(1,\zeta,\zeta^2)$ vektor?
	\item Sejtsük meg és bizonyítsuk be (\ref{exer:vander2}) és (\ref{exer:vander3}) általánosítását $\Cmplx^n$-re.
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Keressünk $\Cmplx^4$-ben két olyan bázist, amelyekben csak a $(0,0,1,1)$ és $(1,1,0,0)$ vektorok közösek.
	\item Keressünk $\Cmplx^4$-ben két olyan bázist, hogy nincsen közös elemük, és az egyik tartalmazza a $(1,0,0,0)$ és $(1,1,0,0)$ vektorokat 
		és a másik pedig az $(1,1,1,0)$ és $(1,1,1,1)$ vektorokat?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Milyen, a $\xi$ skaláron tett feltételek mellett alkot bázist $\Cmplx^3$-ban az $(1,1,1)$ és az $(1,\xi,\xi^2)$ vektor?
	\item Milyen, a $\xi$ skaláron tett feltételek mellett alkot bázist $\Cmplx^3$-ban az $(0,1,\xi)$, $(\xi,0,1)$ és $(\xi,1,1+\xi)$ vektor?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
Tekintsük a $\Cmplx^3$-ban azon vektorok halmazát, melyek koordinátái csak $0$ vagy $1$ értéket vehetnek fel; hány különböző bázist tartalmaz ez a halmaz?
\end{exer}

\begin{exer}
Ha $\vs{X}$ a $(1,1,0,0)$, $(1,0,1,0)$, $(1,0,0,1)$, $(0,1,1,0)$, $(0,1,0,1)$, $(0,0,1,1)$ hat $\Cmplx^4$-beli vektorból áll, keressünk $\vs{X}$-ben két különböző maximális lineárisan független részhalmazt. ($\vs{X}$ egy maximális lineárisan független részhalmaza egy $\vs{Y}$ lineárisan független részhalmaza $\vs{X}$-nek, ami minden alkalommal linárisan összefüggő lesz, amikor hozzáveszünk $\vs{X}$ egy olyan vektorát, ami még nincsen $\vs{Y}$-ban.
\end{exer}

\begin{exer}
Bizonyítsuk be, hogy minden vektortérnek van bázisa. (Ennek a ténynek a bizonyítása élérhetetlen azok számára, akik nem ismerik a transzfinit trükköket, mint például a jólrendezést, vagy a Zorn lemmát.)
\end{exer}

\section{Dimenzió}

\begin{thm}\label{thm:dim}
Egy véges dimenziós $\vs{V}$ vektortérben minden bázis elemszáma ugyannyi.
\end{thm}
\begin{proof}
A bizonyítása a (\ref{thm:lindep}) tétel módszerének apró finomítása, és mellékesen többet is bizonyít mint a tétel álltítása. 
Legyen $\vs{X}=\{x_1,\ldots,x_n\}$ és $\vs{Y}=\{y_1,\ldots,y_m\}$ két véges vektorhalmaz, és mindkettő rendelkezzen a bázist definiáló tulajdonságok egyikével; vagyis tegyük fel, hogy minden vektor a $\vs{V}$-ben felírható mint $\vs{X}$ elemeinek lineáris kombinációja (de azt nem, hogy $\vs{X}$ lineárisan független), és azt is, hogy $\vs{Y}$ lineárisan független (de azt nem, hogy minden vektor az $\vs{Y}$ lineáris kombinációja). Ugyanúgy, mint fentebb, alkalmazhatjuk a (\ref{thm:lindep}) tételt az
\[
\vs{S}=\{y_m,x_1,\ldots,x_n\}
\]
halmazra. Megint megállapíthatjuk, hogy minden vektor $\vs{S}$ elemeinek lineáris kombinációja, és hogy $\vs{S}$ lineárisan összefüggő. Ugyanúgy érvelve mint korábban, kapjuk az
\[
\vs{S}'=\{y_m,x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n\}
\]
halmazt, ami szintén azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden vektor felírható mint $\vs{S}'$ elemeinek lineáris kombinációja.
Most írjuk $y_{m-1}$-et a $\vs{S}'$ vektorai elé, és alkalmazzuk ugyanezt az érvelést. Ily módon folyatva, azt látjuk, hogy az $x$-ek nem fogyhatnak el hamarabb, mint az $y$-ok, ugyanis máskülönben a maradék $y$-ok az $\vs{S}$-hez már hozzávett $y$-ok lineáris kombinációi, habár tudjuk, hogy az $y$-ok lineárisan függetlenek. Másképpen szólva, miután $m$-szer alkalmaztuk az érvelést, egy olyan tulajdonságú halmazt kapunk mint $\vs{X}$, de ez a halmaz annyiban különbözik az $\vs{X}$-től, hogy $m$ elemét $y$-okkal helyettesítettük. Ez a látszólag ártatlan állítás kellett; ebből következik, hogy $n\geq m$. Következésképpen, ha $\vs{X}$ és $\vs{Y}$ egyaránt bázis (vagyis mindkettő rendelkezik mindkét tulajdonsággal), akkor $n\geq m$ és $m\geq n$.
\end{proof}

\begin{defn}
Egy $\vs{V}$ véges dimenziós vektortér \emph{dimenziója} $\vs{V}$ egy bázisának elemszáma.
\end{defn}

Figyeljük meg, hogy mivel az üres halmaz bázisa a triviális $\Zero$ térnek, a definícióból következik, hogy ennek a térnek a dimenziója 0. Mindamellett a definíció (azzal a ténnyel együtt, hogy már az (\ref{sec:basis}) részben bemutattuk $\Cmplx^n$ egy bázisát) igazolja a terminológia kialakítását, és lehetővé teszi hogy bejelentsük: az $n$-dimenziós koordinátatér $n$-dimenziós. (Mivel az érvelés változatlan marad $\Real^n$-ben, az állítás igaz a valós és a komplex esetben is.) 

A következő eredményünk a (\ref{thm:dim}) tétel következménye, a (\ref{thm:basis}) tétel segítségével kapjuk.
\begin{thm}\label{thm:dimeq}
Egy $n$-dimenziós $\vs{V}$ vektortérben minden $n+1$ elemű vektorhalmaz lineárisan összefüggő. Egy $n$ elemű vektorhalmaz pontosan akkor bázis, ha lineárisan független; vagy másképpen fogalmazva, minden eleme $\vs{V}$-nek a vektorhalmaz elemeinek lineáris kombinációja.
\end{thm}

%==================================================================================================
\section{Izomorfizmus}\label{sec:iso}
%==================================================================================================

A lineáris bázis, vagy koordinatarendszer egy alkalmazásaként teljesítünk egy hallgatólagos ígéretet, és megmutatjuk hogy minden $\fld{F}$ test fölötti véges dimenziós vektortér lényegében ugyanaz mint valamely $\fld{F}^n$. (Technikai nyelven szólva, izomorf $\fld{F}^n$-nel.)

\begin{defn}
Két (egyazon test fölötti) vektortér, $\vs{U}$ és $\vs{V}$ \emph{izomorf}, ha van egy $y=T(x)$ egyértelmű megfeleltetés az $\vs{U}$ tér $x$ és a $\vs{V}$ tér $y$ elemei között, úgy, hogy
\[
	T(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 T(x_1) + \alpha_2 T(x_2).
\]
Más szavakkal, $\vs{U}$ és $\vs{V}$ izomorfak, ha van egy izomorfizmus (mondjuk $T$) köztük, ahol az \emph{isomorfizmus} egy olyan egyértelmű megfeleltetés, ami megőriz minden lineáris kapcsolatot.
\end{defn}
Könnyű látni, hogy izomorf véges dimenziós vektorterek azonos dimenziójúak; minden bázisnak az egyik térben megfeleltethető egy bázis a másik térben. Így a dimenzió izomorfizmus-invariáns; meg fogjuk mutatni, hogy ez az egyetlen izomorfizmus-invariáns, olyan értelemben, hogy (nyilván egyazon test feletti) két azonos és véges dimenziójú vektortér izomorf. Amiatt, hogy ha egyrészt $\vs{U}$ és $\vs{V}$ izomorf, másrészt $\vs{V}$ és $\vs{W}$ is az, akkor következik, hogy $\vs{U}$ és $\vs{W}$ izomorf, elég a következő tételt belátni.
\begin{thm}
Minden $\fld{F}$ fölötti $n$-dimenziós vektortér izomorf $\fld{F}^n$-nel.
\end{thm}
\begin{proof}
Legyen $\{x_1,\ldots,x_n\}$ egy bázis $\vs{V}$-ben. Minden $x$ a $\vs{V}$-ben felírható $\xi_1 x_1 + \ldots + \xi_n x_n$ alakban, továbbá tudjuk, hogy a $\xi_1,\ldots,\xi_n$ skalárokat egyértelműen meghatározza $x$. Vegyük az
\[
	x \leftrightarrows (\xi_1,\ldots,\xi_n)
\]
egyértelmű megfeleltetést $\vs{V}$ és $\fld{F}^n$ között. Ha $y=\eta_1 x_1 + \ldots + \eta_n x_n$, akkor
\[
	\alpha x + \beta y = (\alpha\xi_1 + \beta\eta_1) x_1 + \ldots + (\alpha\xi_n + \beta\eta_n) x_n;
\]
ez már bizonyítja a kívánt izomorfizmus létezését.
\end{proof}
Az emberből kikívánkozhat, hogy innentől fogva butaság lenne az általánosság látszatát fenntartani azzal, hogy általános $n$-dimenziós vektorterekről beszélünk, hiszen tudjuk, hogy a lineáris problémák tanulmányozásának szemszögéből az izomorf vektorterek megkülönböztethetetlenek, következésképpen elég lenne a $\fld{F}^n$-t vizsgálnunk. Van azonban egy eszrevételünk. A vektorok és vektorterek legfontosabb tulajondságai olyanok, amelyek függetlenek a koordinátarendszerektől, más szóval, melyek invariánsak az izomorfizmusokra. $\vs{V}$ és $\fld{F}^n$ közötti megfeleltetés azonban egy koordinátarendszer megválasztásával létesült; bármikor, amikor $\fld{F}^n$-t tanulmányoznánk, ahhoz a bizonyos koordinátarendszerhez lennénk kötve, vagy pedig minden alkalommal szembesülnénk azzal az aprólékos munkával, hogy megmutassuk, hogy a definícióink és a tételeink függetlennek attól koordinátarendszertől, amelyben éppenséggel meg lettek fogalmazva. (Ez a szörnyű dilemma később világossá válik, néhány alkalommal rá leszünk kényszerülve, hogy egy bizonyos koordinátarendszerben adjunk meg egy definíciót.) Éppen ezért a könyv nagyobb részében elfelejtjük az imént bizonyított tételt, és úgy kezeljük az $n$-dimenziós vektortéreket, mint önérzetes személyeket, függetlenül minden bázistól. A már említett érveken kívül, van egy másik, hogy miért csináljuk ezt: sok különleges példa a vektorterekre, mint például $\Poli^n$, elveszítené az intuitív tartalmát, ha átalakítanánk őket $\Cmplx^n$-né és csak a koordinátákról beszélnénk. A vektorterek, mint $\Poli^n$, tanulmányozásakor és a más vektorterekkel való kapcsolatuk vizsgálatakor ugyanolyan könnyen kell kezelnünk őket különböző koordinátarenszerekben, vagy, és ez lényegében ugyanaz, tudnunk kell őket koordináták nélkül kezelni.

\exercises

\begin{exer}
\bsubex
	\item Mi $\Cmplx$-nek, a komplex számok halmazának, mint valós vektortérnek a dimenziója? (Lásd (\ref{excoverr}).)
	\item Minden $\vs{V}$ komplex vektortér szorosan kapcsolódik egy $\vs{V}^-$ valós vektortérhez; 
		a $\vs{V}^-$ teret úgy kapjuk $\vs{V}$-ből, hogy $\vs{V}$ vektorait csak valós skalárokkal szorozzuk. 
		Ha a $\vs{V}$ komplex vektortér dimenziója $n$, mennyi a $\vs{V}^-$ valós vektortéré?
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
A valós számok $\Real$ halmaza véges dimenziós vektortér a racionális számok $\Rati$ teste fölött. (Lásd (\ref{exrealrati}). A kérdés nem triviális; valamennyi ismeret a számosságokról segít.)
\end{exer}

\begin{exer}
Hány vektor van a $\Int_p$ test (ahol $p$ prím) fölötti $n$-dimenziós vektortérben?
\end{exer}

\begin{exer}
Diszkutáljuk a következő állítást: ha két racionális vektortérnek ugyanaz a számossága (értsd, létezik egyértelmű megfeleltetés köztük), akkor izomorfak (értsd, létezik linearitás-megőrző egyértelmű megfeleltetés köztük). A számosságokkal való számolással kapcsolatos alapvető ismeretek szükségesek az értelmes tárgyaláshoz.
\end{exer}

%==================================================================================================
\section{Alterek}
%==================================================================================================

A geometriában érdekes objektumok nemcsak a vizsgált tér pontjai, hanem az egyenesei, síkjai, stb. is. Általános vektorterkben fogjuk ezen tobbdimenziós részek analógiáit tanulmányozni. 

\begin{defn}
A $\vs{V}$ vektortér egy nemüres $\vs{M}$ részhalmaza \emph{altér}, ha az $\vs{M}$-ben lévő minden $x$ és $y$ párral együtt minden $\alpha x + \beta y$ lineáris kombinációt is tartalmazza $\vs{M}$.
\end{defn}

Figyelmeztetünk, hogy minden $x$ vektorral együtt az altér tartalmazza az $x-x$ vektort is. Ennélfogva ha az altereket általánosított egyeneseknek, vagy síkoknak fogjuk fel, ügyelnünk kell arra, hogy csak olyan egyeneseket és síkokat tekintsünk, amelyek átmennek az origón.

A $\vs{V}$ vektortér $\vs{M}$ altere maga is vektortér; az olvasó erről könnyen megbizonyosodhat, ugyanúgy definiálva az összeadást és skalárral való szorzást, mint $\vs{V}$-ben, a halmaz kielégíti az (\ref{vec:add}), (\ref{vec:mul}) és (\ref{vec:dist}) axiómákat.

Két különleges példa alterekre: (i) a $\Zero$ halmaz, amely csak az origóból áll, és (ii) $\vs{V}$, az egész tér. Az alábbi példák kevésbé triviálisak.

\begin{enumerate}[(1)]
	\item\label{ex:ss-coo} Legyen $m$ és $n$ pozitív egész, $m\leq n$. Legyen $\vs{M}$ azon $x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ $\Cmplx^n$-beli vektorok halmaza, 
		melyekre $\xi_1=\ldots=\xi_m=0$. 
	\item Legyen $m$ és $n$ ugyanaz mint (\ref{ex:ss-coo})-ben, és tekintsük a $\Poli^n$ teret, 
		és legyen $t_1,\ldots,t_m$ $m$ darab tetszőleges valós szám. Legyen $\vs{M}$ azon $x$ vektorok (polinomok) halmaza a $\Poli^n$-ben, melyre
		$x(t_1)=\ldots=x(t_m)=0$.
	\item\label{ex:evenpoli} Legyen $\vs{M}$ azon $x$ vektorok halmaza $\Poli^n$-ben, melyre $x(t)=x(-t)$ azonosan minden $t$-re.
\end{enumerate}

Szükségünk van néhany jelölésre és fogalomra. Adott halmaz részhalmazainak bármely $\{\vs{M}_\nu\}$ rendszerére (például egy $\vs{V}$ vektortér altereinek rendszerére), az összes $\vs{M}_\nu$ \emph{metszetét}, értsd, azon pontok halmazát, melyek mindegyikben közösek, a $\bigcap_\nu \vs{M}_\nu$ jelölést alkalmazzuk. Továbbá, ha $\vs{M}$ és $\vs{N}$ egy halmaz részhalmazai, azt írjuk hogy $\vs{M}\subset\vs{N}$, ha $\vs{M}$ részhalmaza $\vs{N}$-nek, vagyis, ha $\vs{M}$ minden eleme $\vs{N}$-ben is beleesik. (Figyeljük meg, hogy nem zárjuk ki az $\vs{M}=\vs{N}$ lehetőségét; tehát azt is mondhatjuk azt, hogy $\vs{V}\subset\vs{V}$, és $\Zero\subset\vs{V}$-t úgyszintén.) Egy véges $\{\vs{M}_1,\ldots,\vs{M}_n\}$ rendszerre $\bigcap_\nu \vs{M}_\nu$ helyett azt fogjuk írni, hogy $\vs{M}_1\cap\ldots\cap\vs{M}_n$; abban az esetben, ha két részhalmaz, $\vs{M}$ és $\vs{N}$, olyanok, hogy $\vs{M}\cap\vs{N}=\Zero$, azt mondjuk, $\vs{M}$ és $\vs{N}$ \emph{diszjunkt}.

%==================================================================================================
\section{Számolás alterekkel}
%==================================================================================================

\begin{thm}
Alterek bármely rendszerének metszete altér.
\end{thm}
\begin{proof}
Ha a $\nu$ indexet a rendszer elemeinek megkülönböztetésére használjuk, úgy, hogy az adott alterek a $\vs{M}_\nu$-k, írjuk azt, hogy
\[
	\vs{M}=\bigcap_\nu\vs{M}_\nu.
\]
Mivel minden $\vs{M}_\nu$ tartalmazza a $0$-t, így $\vs{M}$ is, tehát $\vs{M}$ nemüres. Ha $x$ és $y$ $\vs{M}$-hez tartozik (vagyis, minden $\vs{M}_\nu$-höz), akkor $\alpha x + \beta y$ minden $\vs{M}_\nu$-höz tartozik, tehat $\vs{M}$ altér.
\end{proof}

Hogy lássuk a tétel egy alkalmazását, tegyük fel, hogy $\vs{S}$ tetszőleges vektorhalmaz (nem feltétlenül altér) a $\vs{V}$ vektortérben. Bizonyosan létezik egy $\vs{M}$ altér, amely tartalmazza $\vs{S}$ minden elemét (vagyis, $\vs{S}\subset\vs{M}$; az egész tér, $\vs{V}$, például ilyen altér. Legyen $\vs{M}$ az összes olyan altér metszete, amely tartalmazza $\vs{S}$-t; világos, hogy $\vs{M}$ maga is egy $\vs{S}$-et tartalmazó altér. Az is látszik, hogy $\vs{M}$ a legkisebb ilyen altér; ha az $\vs{N}$ altér szintén tartalmazza $\vs{S}$-t, $\vs{S}\subset\vs{N}$, akkor $\vs{M}\subset\vs{N}$. Az így definiált $\vs{M}$ altéret az $\vs{S}$ által \emph{generált} altérnek nevezzük, vagy $\vs{S}$ \emph{generátumának}. A következő eredmény összekapcsolja a generált altér fogalmát az (\ref{sec:lindep})-(\ref{sec:iso}) bekezdésekben tanultakkal.

\begin{thm}\label{thm:genspan}
Ha $\vs{S}$ teszőleges vektorhalmaz a $\vs{V}$ vektortérben, és $\vs{M}$ az $\vs{S}$ által generált altér, akkor $\vs{M}$ ugyanaz, mint az $\vs{S}$ elemeiből képzett lináris kombinációk halmaza.
\end{thm}
\begin{proof}
Nyilvánvaló, hogy $\vs{S}$ elemeinek lineáris kombinációinak lineáris kombinációja szintén $\vs{S}$ elemeinek lineáris kombinációja. Ezért $\vs{S}$ elmeinek lineáris kombinációinak halmaza egy $\vs{S}$-t tartalmazó altér; ebből következik, hogy ennek az altérnek $\vs{M}$-et is tartalmaznia kell. Most fordítsuk meg az érvelést: $\vs{M}$ tartalmazza $\vs{S}$-t és altér; ennélfogva $\vs{M}$ tartalmazza $\vs{S}$ elemeinek összes lineáris kombinációját
\end{proof}

Következésképpen azt látjuk, hogy az új terminológiánkkal úgy is definiálhatjuk a lineáris bázist, mint lineárisan független vektorhalmazt, amely generálja az egész teret.

A következő eredményünk a (\ref{thm:genspan}) tétel egyszerű következménye; a bizonyítása az olvasóra bízható.

\begin{thm}
Ha $\vs{H}$ és $\vs{K}$ teszőleges alterek, és $\vs{H}$ és $\vs{K}$ által együttesen feszített altér $\vs{M}$, akkor $\vs{M}$ az $x+y$ alakú vektorok halmaza, ahol $x$ $\vs{H}$-ban, $y$ $\vs{K}$-ban van.
\end{thm}

A tétel által buzdítva, a $\vs{H}+\vs{K}$ jelölést fogjuk használni a $\vs{H}$ és $\vs{K}$ által generált $\vs{M}$ altérre. Azt fogjuk mondani, hogy a $\vs{V}$ vektortér $\vs{K}$ alterének egy \emph{komplementuma} a $\vs{H}$ altér, ha $\vs{H}\cap\vs{K}=\Zero$ és $\vs{H}+\vs{K}=\vs{V}$.

%==================================================================================================
\section{Altér dimenziója}
%==================================================================================================

\begin{thm}\label{thm:dimsub}
Az $n$-dimenziós $\vs{V}$ vektortér $\vs{M}$ altere vektortér és dimenziója $\leq n$.
\end{thm}
\begin{proof}
Lehet adni egy megtévesztően rövid bizonyítást, ami a következőképpen szól. Minden $n+1$ elemű vektorhalmaz $\vs{V}$-ben lineárisan összefüggő, tehát mivel ugyanez igaz $\vs{M}$-re is, speciálisan $\vs{M}$ minden bázisának elemszáma $\leq n$, és ezt kellett belátni.

Az a baj ezzel az érveléssel, hogy amikor $n$-t, mint dimenziót definiáltuk, közben megköveteltük, hogy létezzen véges bázis, aztán követeltük, hogy legyen pontosan $n$ eleme. A fenti bizonyítás csak azt mutatja meg, hogy egyetlen bázis sem tartalmazhat több, mint $n$ elemet; nem mutatja meg, hogy létezik-e egyátalán bázis. Viszont amint ezt a nehézséget felismertük, könnyű betömni a rést. Ha $\vs{M}=\Zero$, akkor kész vagyunk. Ha $\vs{M}$ tartalmaz egy nemnulla $x_1$ vektort, akkor legyen $\vs{M}_1$ ($\subset\vs{M}$) az $x_1$ által generált altér. Ha $\vs{M}=\vs{M}_1$, akkor készen vagyunk. Ha $\vs{M}\neq\vs{M}_1$, akkor legyen $x_2$ olyan eleme $\vs{M}$-nek amit nem tartalmaz $\vs{M}_1$, és $\vs{M}_2$ az $x_1$ és $x_2$ által generált altér; és így tovább. Mostmár jogosan alkalmazhatjuk a fenti érvelést; nem több, mint $n$ ilyen lépés után a folyamat megáll, mivel az (\ref{thm:dimeq}) tétel miatt nem tudunk $n+1$ lineárisan független vektort választani. 
\end{proof}

A következő eredmény fontos következménye az (\ref{thm:dimsub}) tétel második, helyes bizonyításának. 

\begin{thm}
Adott egy $n$-dimenziós $\vs{V}$ vektortér $m$-dimenziós $\vs{M}$ altere, akkor találhatunk $\vs{V}$-nek egy $\{x_1,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_n\}$ bázisát, úgy, hogy $x_1,\ldots,x_m$ $\vs{M}$-ben vannak, és emiatt $\vs{M}$ egy bázisát alkotják.
\end{thm}

A $\vs{V}$ vektortér dimenzióját a $\dim \vs{V}$ szimbólummal fogjuk jelölni. Ezzel a jelöléssel az (\ref{thm:dimsub}) tétel azt állítja, hogy ha $\vs{M}$ altere egy véges dimenziós $\vs{V}$ vektortérnek, akkor $\dim\vs{M}\leq\dim\vs{V}$.

\exercises

\begin{exer}
Ha $\vs{M}$ és $\vs{N}$ véges dimenziós alterek, és ugyanannyi dimenziósak, és ha $\vs{M}\subset\vs{N}$, akkor $\vs{M}=\vs{N}$.
\end{exer}

\begin{exer}
Ha $\vs{M}$ és $\vs{N}$ a $\vs{V}$ vektortér alterei, és ha minden vektor a $\vs{V}$-ben vagy $\vs{M}$-hez vagy $\vs{N}$-hez (vagy mindkettőhöz) tartozik, akkor vagy $\vs{M}=\vs{V}$ vagy $\vs{N}=\vs{V}$ (vagy mindkettő).
\end{exer}

\begin{exer}
Tegyük fel, hogy $x$ és $y$ vektorok, és $\vs{M}$ altér a $\vs{V}$ vektortérben; legyen $\vs{H}$ az $\vs{M}$ és az $x$ által generált altér, és legyen $\vs{K}$ az $\vs{M}$ és az $y$ által generált altér. Bizonyítsuk be, hogy ha $y$ $\vs{H}$-ban van, de nem $\vs{M}$-ben, akkor $x$ $\vs{K}$-ban van.
\end{exer}

\bsol
Legyen $H=\bigcap_\nu \vs{W}_\nu$
\esol

\begin{exer}
Tegyük fel, hogy $\vs{L}$, $\vs{M}$ és $\vs{N}$ alterei egy vektortérnek.
\bsubex
	\item Mutassuk meg, hogy az
	\[
		\vs{L}\cap(\vs{M}+\vs{N})=(\vs{L}\cap\vs{M})+(\vs{L}\cap\vs{N})
	\]
	egyenlet nem feltétlenül igaz.
	\item Bizonyítsuk be, hogy
	\[
		\vs{L}\cap(\vs{M}+(\vs{L}\cap\vs{N}))=(\vs{L}\cap\vs{M})+(\vs{L}\cap\vs{N}).
	\]
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Előfordulhat, hogy a $\vs{V}$ vektortér egy nemtriviális alterének (értsd, egy $\Zero$-tól és $\vs{V}$-től különböző altér) 
		egyértelmű komplementuma van?
	\item Ha $\vs{M}$ egy $m$-dimenziós altér egy $n$-dimenziós vektortérben, akkor $\vs{M}$ minden komplementuma $n-m$ dimenziós.
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
\bsubex
	\item Mutassuk meg, hogy ha $\vs{M}$ és $\vs{N}$ háromdimenziós alterek egy ötdimenziós vektortérben, akkor $\vs{M}$ és $\vs{N}$ nem diszjunktak. 
	\item Ha $\vs{M}$ és $\vs{N}$ véges dimenziós alterei egy vektortérnek, akkor
	\[
		\dim\vs{M} + \dim\vs{N} = \dim(\vs{M}+\vs{N})+\dim(\vs{M}\cap\vs{N}).
	\]
\esubex
\end{exer}

\begin{exer}
Egy $x$ polinom \emph{páros}, ha $x(t)=x(-t)$ azonosan minden $t$-re (lásd, (\ref{ex:evenpoli})), és \emph{páratlan}, ha $x(-t)=x(t)$.
\bsubex
	\item A páros polinomok $\vs{M}$ halmaza és páratlan polinomok $\vs{N}$ halmaza is altere a (komplexegyütthatós) polinomok $\Poli$ terének.
	\item Bizonyítsuk be, hogy $\vs{M}$ és $\vs{N}$ egymás komplementumai.
\esubex
\end{exer}

%==================================================================================================
\section{Duális terek}
%==================================================================================================

\begin{defn}
Egy $\vs{V}$ vektortéren értelmezett \emph{lineáris funkcionál} egy skalárértékű $y$ függvény, amely minden $x$ vektorra definiálva van, és az
\[
y(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2)=\alpha_1 y(x_1) + \alpha_2 y(x_2)
\]
(azonosan, minden $x_1$, $x_2$ vektorra és $\alpha_1$, $\alpha_2$ skalárra) tulajdonsággal rendelkezik.
\end{defn}

Lássunk néhány példát lineáris funkcionálokra.
\begin{enumerate}[(1)]
	\item Minden $x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$-re $\Cmplx^n$-ben, legyen $y(x)=\xi_1$. Általánosabban, legyen $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ bármilyen $n$ skalár, 
	és mondjuk azt, hogy
	\[
		y(x)=\alpha_1\xi_1 + \ldots + \alpha_n\xi_n.
	\]
	Figyeljük meg, hogy bármely vektortéren értelmezett $y$ lineáris funkcionálra
	\[
		y(0)=y(0\cdot 0)=0\cdot y(0)=0;
	\]
	ebből fakadóan a definíciónk szerinti lineáris funkcionált néha \emph{homogénnek} nevezik. Speciálisan $\Cmplx^n$-ben, ha $y$ úgy definiáljuk, hogy
	\[
		y(x)=\alpha_1\xi_1+\ldots+\alpha_n\xi_n+\beta,
	\]
	akkor $y$ nem lineáris funkcionál, kivéve ha  $\beta=0$.
	\item Bármely $x$ polinomra $\Poli$-ben, legyen $y(x)=x(0)$. Általánosabban, legyen $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ bármely $n$ skalár, 
		legyen $t_1,\ldots,t_n$ bármely $n$ valós szám, és mondjuk azt, hogy
	\[
		y(x)=\alpha_1 x(t_1)+\ldots+\alpha_n x(t_n).
	\]
	Egy másik példát, ami bizonyos értelemben határesete az imént adottnak, a következőképpen kapjuk. Legyen $(a,b)$ bármely véges intervallum a 
		$t$-tengelyen, és legyen $\alpha$ tetszőleges $(a,b)$ intervallumon definiált, komplex-integrálható függvény; definiáljuk most $y$-t úgy, hogy
	\[
		y(x)=\int_a^b \alpha(t) x(t) dt.
	\]
	\item\label{ex:zerofunc} Tetszőleges $\vs{V}$ vektortéren definiáljuk $y$-t úgy, hogy
	\[
		y(x)=0
	\]
	minden $x$-re a $\vs{V}$-ben.
\end{enumerate}
Az utolsó példa az első nyoma egy általános helyzetnek. Legyen $\vs{V}$ tetszőleges vektortér, és legyen $\vs{V}'$ az $\vs{V}$-n értelmezett lineáris funkcionálok halmaza. Jelöljük $0$-val a (\ref{ex:zerofunc})-ban definiált lineáris funkcionált (vessük össze a (\ref{sec:comments}) bekezdés végén lévő megjegyzéssel).Ha $y_1$ és $y_2$ a $\vs{V}$-n értelmezett lineáris funkcionálok, és ha $\alpha_1$ és $\alpha_2$ skalárok, definiáljuk az $y$ függvényt úgy, hogy
\[
y(x)=\alpha_1 y_1(x) + \alpha_2 y_2(x).
\]
Könnyű látni, hogy $y$ lineáris funkcionál; jelöljük $\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2$-vel. A lineáris fogalmak (zérus, összeadás, skalárral való szorzás) ezen definícióval a $\vs{V}'$ halmaz vektorteret alkot, a $\vs{V}$ \emph{duális terét}.

%==================================================================================================
\section{Zárójelek}
%==================================================================================================
Mielőtt részletesebben elkezdenénk tanulmányozni a lineáris funkcionálokat és a duális tereket, be szeretnénk vezetni egy jelölést, ami elsőre furcsának tűnhet, de később sok helyzetet tisztázni fog. Ennek ellenére néha szükséges teljes egészében a függvény jelölést használni, és hogy valahogyan jelezzük, hogy ha $y$ egy $\vs{V}$-n értelmezett lineáris funkcionál, és ha $x$ egy vektor a $\vs{V}$-ben, akkor $y(x)$ egy bizonyos skalár. Az itt javasolt jelölés szerint, nem $y$ után bezárójelezett $x$-et írunk, hanem $x$-et és $y$-t szögletes zárójelek közé rakva és vesszővel elválasztva. A jelölés szokatlan természete miatt még több szóáradás következik.

Ahogyan arra már rámutattunk, $[x,y]$ a szokásos $y(x)$ függvényjelet helyettesíti; mindkét szimbólum azt a skalárt jelöli, amelyet akkor kapunk, amikor vesszük a $y$ lineáris funkcionál értéket az $x$ helyen. Vegyünk egy hasonló szituációt (amely olyan függvényekkel foglalkozik, melyek ugyan nem lineárisak). Legyen $y$ valós függvénye egy valós változónak, és minden $x$ valós számra $y(x)=x^2$. Az $[x,y]$ jelölés egy szimbólikus módszer a ténylegesen végrehajtott műveletek receptjének leírására; a [végy egy számot, és emeld négyzetre] mondatnak felel meg.

Foglaljunk össze a jelölés használatával: minden $\vs{V}$ vektortérnek feleltessük meg a $\vs{V}$-n értelmezett lineáris funkcionálok $\vs{V}'$ vektorterét; minden $x$ és $y$ párnak, ahol $x$ egy vektor a $\vs{V}$-ben, és $y$ egy lineáris funkcionál $\vs{V}'$-ben, feleltessük meg az $[x,y]$ skalárt, amit úgy definiálunk, mint az $y$ értékét $x$-ben. Az $[x,y]$ szimbólum használatával a lineáris funkcionált definiáló tulajdonság
\begin{equation}
[\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y]=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y],
\end{equation}
valamint a lineáris funkcionálokon végzett lineáris műveletek definíciója
\begin{equation}\label{eq:functlin2}
[x,\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2]=\alpha_1[x,y_1]+\alpha_2[x,y_2].
\end{equation}
A két összefüggés együtt azt jelenti, hogy $[x,y]$ az $x$ $\vs{V}$-beli, és $y$ $\vs{V}'$-beli vektorok \emph{bilineáris funkcionálja}.

\exercises

\begin{exer}
Vegyük a komplex számok $\Cmplx$ halmazát mint valós vektorteret (ahogyan (\ref{excoverr})-ben). Tegyük fel, hogy minden $\Cmplx$-hez tartozó $x=\xi_1+i\xi_2$-höz (ahol $\xi_1$ és $\xi_2$ valós számok és $i=\sqrt{-1}$), az $y$ függvényt úgy definiáljuk, hogy
\bsubex
	\item $y(x)=\xi_1$,
	\item $y(x)=\xi_2$,
	\item $y(x)=\xi_1^2$,
	\item $y(x)=\xi_1-i\xi_2$,
	\item $y(x)=\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}$. (Egy pozitív szám elé írt négyzetgyökjel mindig a pozitív négyzetgyökét jelenti a számnak.)
\esubex
Mely esetekben lineáris funkcionál $y$?
\end{exer}
\bsol
\bsubex
	\item Igen, mivel ha $x_1=\eta_1+i\eta_2$ és $x_2=\zeta_1+i\zeta_2$, valamint $\alpha_1$ és $\alpha_2$ valós számok, akkor
	\begin{align*}
		[\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y]&=[\alpha_1(\eta_1+i\eta_2)+\alpha_2(\zeta_1+i\zeta_2),y]=\alpha_1\eta_1+\alpha_2\zeta_1 \\
						&=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y].
	\end{align*}
	\item Igen, ugyanúgy, mint az előbb, csak második egyenlőségjel után,$\alpha_1\eta_1+\alpha_2\zeta_1$'' helyett 
		,,$\alpha_1\eta_2+\alpha_2\zeta_2$''-t kell mondani.
	\item Nem, mert $[\alpha x,y]=\alpha^2\xi_1^2\neq\alpha\xi_1^2=\alpha[x,y]$, ha $\alpha\neq 0$ és $x\neq 0$.
	\item Nem, mert $y$ általában nem valós.
	\item Nem, például $\sqrt{2}=[2,y]=[(1+i)+(1-i),y]\neq[1+i,y]+[1-i,y]=2\sqrt{2}$.
\esubex
\esol

\begin{exer}
Tegyük fel, hogy minden $x=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$-ra a $\Cmplx^3$-ban az $y$ függvényt úgy definiáljuk, hogy
\bsubex
	\item $y(x)=\xi_1+\xi_2$,
	\item $y(x)=\xi_1-\xi_3^2$,
	\item $y(x)=\xi_1+1$,
	\item $y(x)=\xi_1-2\xi_3+3\xi_3$.
\esubex
Mely esetekben lineáris funkcionál $y$?
\end{exer}
\bsol
\bsubex
	\item Igen. Legyen $x_1=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$ és $x_2=(\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3)$, valamint $\alpha_1$ és $\alpha_2$ skalárok, akkor
	\begin{align*}
		[\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y]&=\alpha_1\eta_1+\alpha_2\zeta_1+\alpha_1\eta_2+\alpha_2\zeta_2 \\
						&=\alpha_1(\eta_1+\eta_2)+\alpha_2(\zeta_1+\zeta_2) \\
						&=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y].
	\end{align*}
	\item Nem, mert például $x=(8,0,1)$ választással $[2x,y]=0$, de $2[x,y]=14$.
	\item Nem, mert $y(0)=1$.
	\item Igen. Hasonlóan az első részfeladathoz,
	\begin{align*}
		[\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y]&=(\alpha_1\eta_1+\alpha_2\zeta_1)-2(\alpha_1\eta_2+\alpha_2\zeta_2)+3(\alpha_1\eta_3+\alpha_2\zeta_3) \\
						&=\alpha_1(\eta_1-2\eta_2+3\eta_3)+\alpha_2(\zeta_1-2\zeta_2+3\zeta_3) \\
						&=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y].
	\end{align*}
\esubex
\esol

\begin{exer}
Legyen minden $\Poli$-beli $x$-re az $y$ függvént definiáljuk úgy, hogy
\bsubex
	\item $y(x)=\mathlarger{\int}_{-1}^{+2} x(t)\,dt$,
	\item $y(x)=\mathlarger{\int}_0^2 (x(t))^2\,dt$,
	\item $y(x)=\mathlarger{\int}_0^1 t^2 x(t)\,dt$,
	\item $y(x)=\mathlarger{\int}_0^1 x(t^2)\,dt$,
	\item $y(x)=\mathlarger{\frac{dx}{dt}}$,
	\item $y(x)=\mathlarger{\left.\frac{d^2x}{dt^2}\right|_{t=1}}$
\esubex
Mely esetekben lineáris funkcionál $y$?
\end{exer}
\bsol
\bsubex
	\item Igen. Legyen $x_1$ és $x_2$ vektorok a $\Poli$-ből, $\alpha_1$ és $\alpha_2$ skalárok. Ekkor az intergálás linearitása miatt,
	\begin{align*}
		[\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y]&=\int_{-1}^{+2} \alpha_1 x_1(t) + \alpha_2 x_2(t)\,dt
				=\alpha_1\int_{-1}^{+2} x_1(t)\,dt+\alpha_2\int_{-1}^{+2} x_2(t)\,dt= \\
						&=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y].
	\end{align*}
	\item Nem, mert $[\alpha x, y]=\int_0^2 \alpha^2 (x(t))^2\,dt=\alpha^2\int_0^2 (x(t))^2\,dt\neq\alpha[x,y]$.
	\item Igen, mert hasnolóan az első feladathoz, kapjuk, hogy
        \begin{align*}
		[\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y]&=\int_0^1 t^2(\alpha_1 x_1(t)+\alpha_2 x_2(t))\,dt
			=\alpha_1\int_0^1 t^2 x_1(t)\,dt + \alpha_2\int_0^1 t^2 x_2(t)\,dt=\\
			&=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y].
        \end{align*}
	\item Igen. Végezzük el $\Poli$ (\ref{sec:basis}) bekezdésben megadott bázisának elemein az integrálást,
	\[
		[t^k,y]=\int_0^1 t^{2k}\,dt=\left[\frac{t^{2k+1}}{2k+1}\right]_0^1=\frac{1}{2k+1}.
	\]
	Ez nyilván minden $k\geq 0$ esetén értelmes. Az előbbi megoldásokhoz hasonlóan $y$ lineáris funkcionál, mivel
	\begin{align*}
		[\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2, y]&=\int_0^1 (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2)(t^2)\,dt=\alpha_1\int_0^1 x_1(t^2)\,dt+\alpha_2\int_0^1 x_2(t^2)\,dt \\
					      &=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y],
	\end{align*}
	továbbá az is igaz, hogy $\Poli$ minden eleme felírható, mint a báziselemek lineáris kombinációja, ezért a funkcionál tetszőleges 
	vektoron értelmezve van.
	\item Nem, mert deriválással pusztán eggyel alacsonyabb fokú polinomot (vektort) kapunk, kivéve, ha konstans polinomot deriválunk, mert akkor $0$-t.
	\item Igen, mert a deriválás is lineáris művelet
	\begin{align*}
		[\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2,y]&=\left. (\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2)'' \right|_{t=1}=\left.(\alpha_1 x_1'' + \alpha_2 x_2'') \right|_{t=1}\\
					     &=\left. \alpha_1 x_1'' \right|_{t=1} + \left. \alpha_2 x_2'' \right|_{t=1} \\
					     &=\alpha_1[x_1,y]+\alpha_2[x_2,y].
	\end{align*}
	Azt kell még meggondolni, hogy minden $x$-re értelmezve van-e $y$, de ez nyilvánvaló.
\esubex
\esol

\begin{exer}
Ha $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots)$ tetszőleges komplex számsorozat, és $x$ eleme $\Poli$-nek, $x(t)=\sum_{i=0}^n \xi_i t^i$, akkor legyen $y(x)=\sum_{i=0}^n \xi_i\alpha_i$. Bizonyítsuk be, hogy $y$ eleme $\Poli'$-nek, valamint, hogy megfelelő $\alpha$-kat választva $\Poli'$ minden eleme megkapható ilyen módon.
\end{exer}
\bsol
A feladat első fele könnyű számolással kapható, hiszen legyen $(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\ldots)$ és $(\gamma_0,\gamma_1,\gamma_2,\ldots)$ két tetszőleges komplex számsorozat, és így $y_1(x)=\sum_{i=0}^n \xi_i\beta_i$, valamint $y_2(x)=\sum_{i=0}^n \xi_i\gamma_i$, és $\delta_1$, $\delta_2$ tetszőleges skalárok. Ekkor
\begin{align*}
[x,\delta_1 y_1 + \delta_2 y_2]&=\sum_{i=0}^n (\delta_1\beta_i+\delta_2\gamma_i)\xi_i=\delta_1\sum_{i=0}^n \beta_i\xi_i + \delta_2\sum_{i=0}^n \gamma_i\xi_i\\
			       &=\delta_1[x,y_1]+\delta_2[x,y_2].
\end{align*}
Tegyük fel, hogy az $B=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}$ halmaz bázist alkot $\Poli'$-ben, definiáljuk az $y_k$-kat úgy, hogy $y_k(x)=\sum_{i=0}^{|x|} \xi_i\eta_{ik}$. Ekkor $y=\sum_k \zeta_k y_k$ minden $y$ vektorra a $\Poli'$-ben, alkalmas $\zeta$-k választása esetén, és nézzük az $y(x)$ skalárt:
\[
	[x,y]=\left[\sum_{i=0}^{|x|} \xi_i t^i, \sum_k\zeta_k y_k\right]=\sum_k\zeta_k\sum_{i=0}^{|x|}\xi_i\eta_{ik}
		=\sum_k\zeta_k\sum_{i=0}^{|x|} \xi_i [t^i,y_k].
\]
Ha most $[t^i,y_k]=\delta_{ik}$, akkor $[x,y]=\sum_{i=0}^{|x|} \zeta_i\xi_i$. 

Legyen $p$ tetszőleges lineáris funkcionál a $\Poli'$-ben. Nézzük hogyan viselkedik $p$ a $\Poli$ báziselemein:
$[t_k,p]=\pi_k$ minden $k\geq 0$-ra. Ez tovább írható úgy, hogy
\[
	[t_k,p]=\sum_j \pi_j\delta_{jk}=\sum_j \pi_j [t^k,y_j]=\left[t_k, \sum_j \pi_j y_j\right].
\]
Ebből az következik, hogy $p=\sum_j \pi_j y_j$.
\esol

\begin{exer}
Ha $y$ egy $\vs{V}$ vektortéren értelmezett nemnulla funkcionál, és $\alpha$ egy tetszőleges skalár, akkor létezik-e szükségképpen egy $x$ vektor a $\vs{V}$-ben, hogy $[x,y]=\alpha$?
\end{exer}
\bsol
Mivel $y$ nemnulla, létezik $u$ a $\vs{V}$-ben, hogy $[u,y]\neq 0$. Akkor legyen $x=\alpha[u,y]^{-1} u$, ezzel $[x,y]=[\alpha[u,y]^{-1}u,y]=\alpha[u,y]^{-1}[u,y]=\alpha$.
\esol

\begin{exer}
Bizonyítsuk be, hogy ha $y$ és $z$ (ugyanazon vektortéren értelmezett) lineáris funkcionálok, és $[x,z]=0$ esetén $[x,y]=0$ teljesül, akkor létezik egy $\alpha$ skalár, hogy $y=\alpha z$. (Útmutatás: ha $[x_0,z]\neq 0$, akkor $\alpha=[x_0,y]/[x_0,z]$.)
\end{exer}
\bsol
\esol

%==================================================================================================
\section{Duális bázisok}
%==================================================================================================

Még egy megjegyzés mielőtt belefognánk a fontos tételek bizonyításába. A duális tér fogalmát koordinátarendszerekre való hivatkozás nélkül definiáltuk; ha az alábbi bizonyításokra pillantunk, koordinátarendszerek tömkelegét látjuk. Szeretnénk leszögezni, hogy ez a jelenség elkerülhetetlen; olyan erdeményeket fogunk megalapozni, amelyek a dimenzióval foglalkoznak, és ez az (eddigi) egyetlen fogalom, amely definíciója egy bázisban van megadva.

\begin{thm}\label{thm:dualdet}
Ha $\vs{V}$ egy $n$-dimenziós vektortér, $\{x_1,\ldots x_n\}$ egy bázis $\vs{V}$-ben, és $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ tetszőleges $n$ skalárból álló halmaz, akkor pontosan egy $\vs{V}$-n értelmezett $y$ lineáris funkcionál van, amelyre $[x_i,y]=\alpha_i$ teljesül $i=1,\ldots,n$-re.
\end{thm}
\begin{proof}
Minden $x$ a $\vs{V}$-ben pontosan egyféleképpen írtható fel $x=\xi_1 x_1 + \ldots + \xi_n x_n$ alakban; ha $y$ tetszőleges lineáris funkcionál, akkor
\[
	[x,y]=\xi_1[x_1,y]+\ldots+\xi_n[x_n,y].
\]
Ebből az összefüggésből világos $y$ unicitása; ha $[x_i,y]=\alpha_i$, akkor $[x,y]$ értéke meg van határozva minden $x$-re $[x,y]=\sum_i\xi_i\alpha_i$ által. Az érvelés megfordítható; ha $y$-t úgy definiáljuk, hogy 
\[
	[x,y]=\xi_1\alpha_1+\ldots+\xi_n\alpha_n,
\]
akkor $y$ valóban lineáris funkcionál, és $[x_i,y]=\alpha_i$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{thm:dualbasis}
Ha $\vs{V}$  $n$-dimenziós vektortér, és ha $\vs{X}=\{x_1,\ldots,x_n\}$ egy bázis $\vs{V}$-ben, akkor van egy egyértelműen meghatározott $\vs{X}'$ bázis $\vs{V}'$-ben, $\vs{X}'=\{y_1,\ldots,y_n\}$, ami azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy $[x_i,y_j]=\delta_{ij}$. Következésképpen, egy $n$-dimenziós vektortér duális tere $n$-dimenziós.
\end{thm}
Az $\vs{X}'$-t $\vs{X}$ \emph{duális bázisának} nevezzük.
\begin{proof}
Az (\ref{thm:dualdet}) tételből következik, hogy minden $j=1,\ldots,n$-re található pontosan egy $y_j$ a $\vs{V}'$-ben, úgy, hogy $[x_i,y_j]=\delta_{ij}$; már csak azt kell bizonyítani, hogy $\vs{X}'=\{x_1,\ldots,x_n\}$ bázis $\vs{V}'$-ben.

Először is, $\vs{X}'$ lineárisan független halmaz, mivel ha $\alpha_1 y_1 + \ldots + \alpha_n y_n=0$, másképpen szólva, ha
\[
	[x,\alpha_1 y_1 + \ldots + \alpha_n y_n]=\alpha_1[x,y_1]+\ldots+\alpha_n[x,y_n]=0,
\]
minden $x$-re, akkor azt kell kapnunk $x=x_i$-re, hogy
\[
	0=\sum_j \alpha_j[x_i,y_j]=\sum_j\alpha_j\delta_{ij}=\alpha_i.
\]
Másodszor, minden $y$ a $\vs{V}'$-ben $y_1,\ldots,y_n$ egy lineáris kombinációja. Hogy ezt bebizonyítsuk, legyen $[x_i,y]=\alpha_i$; ekkor $x=\sum_i\xi_i x_i$-re, azt kapjuk, hogy
\[
	[x,y]=\xi_1\alpha_1+\ldots+\xi_n\alpha_n.
\]
Másfelől
\[
	[x,y_j]=\sum_i\xi_i [x_i,y_j]=\xi_j,
\]
úgyhogy behelyettesítve az előző egyenletbe kapjuk, hogy
\begin{align*}
	[x,y]&=\alpha_1[x,y_1]+\ldots+\alpha_n[x,y_n] \\
	     &=[x,\alpha_1 y_1 + \ldots + \alpha_n y_n]
\end{align*}
Következésképpen $y=\alpha_1 y_1 + \ldots + \alpha_n y_n$, és kész a tétel bizonyítása.
\end{proof}

Szükségünk lesz az (\ref{thm:dualbasis}) tétel alábbi egyszerű következményére is:
\begin{thm}\label{thm:dualinj}
Ha $u$ és $v$ két különböző vektor az $n$-dimenziós $\vs{V}$ vektortérben, akkor létezik egy $\vs{V}$-n értelmezett $y$ lineáris funkcionál, úgy, hogy $[u,y]\neq[v,y]$; vagy, ekvivalens módon, bármely nemnulla $x$ vektornak a $\vs{V}$-ben megfeleltethető egy $y$ a $\vs{V}'$-ben, hogy $[x,y]\neq 0$. 
\end{thm}
\begin{proof}
Az hogy a tételben szereplő két állítás valóban ekvivalens, úgy látható, ha $x=u-v$-t veszünk. Ezért csak az utóbbi állítást bizonyítjuk.

Legyen $\vs{X}=\{x_1,\ldots,x_n\}$ tetszőleges bázis $\vs{V}$-ben, és legyen $\vs{X}'=\{y_1,\ldots,y_n\}$ a duális bázis $\vs{V}'$-ben. Ha $x=\sum_i \xi_i x_i$, akkor (mint fentebb) $[x,y_j]=\xi_j$. Ezért ha $[x,y]=0$ minden $y$-ra, és speciálisan ha $[x,y_j]=0$ $j=1,\ldots,n$-re, akkor $x=0$.
\end{proof}

%==================================================================================================
\section{Reflexivitás}\label{sec:reflex}
%==================================================================================================

Természetes azt gondolni, hogy ha a $\vs{V}$ vektortér $\vs{V}'$ duális tere, és a tér és a duálisa közti kapcsolatok érdekesek a $\vs{V}$ számára, akkor ugyanannyira érdekes a $\vs{V}'$ számára. Másképpen fogalmazva, az javasoljuk, hogy alakítsuk ki $\vs{V}'$ duálisát, $(\vs{V}')'$; a jelölés egyszerűsítésének érdekében $\vs{V}''$-vel fogjuk jelölni. $\vs{V}''$ elemeinek szavakkal történő kifejezése nehézkes: egy ilyen elem lineáris funkcionálok lineáris funkcionálja. Azonban itt jön elő az $[x,y]$ jelölés legnagyobb előnye; ennek segítségébvel könnyű tárgyalni $\vs{V}$ és $\vs{V}''$ közti összefüggést.

Ha az $[x,y]$ szimbólumot valamilyen rögzített $y=y_0$-ra nézzük, akkor semmi újat nem kapunk: $[x,y_0]$ egyszerűen egy másik módja annak, hogy az $y_0(x)$ értékét jelöljük az $y_0$ függvénynek az $x$ helyen. Viszont ha rögzített $x=x_0$-ra tekintjük az $[x,y]$ jelet, akkor azt vesszük észre, hogy $\vs{V}'$ vektorainak ez olyan skalár-értékű függvénye, amely értéke $y$-ban $[x_0,y]$, és éppenséggel lineáris (lásd (\ref{eq:functlin2})); másképpen szólva, $[x_0,y]$ egy lineáris funkcionált definiál $\vs{V}'$-n, következésképpen eleme $\vs{V}''$-nek.

Ezzel a módszerrel mutattunk \emph{néhány} $\vs{V}'$-n értelmezett lináris funkcionált; de vajon megmutattuk őket mind? A véges dimenziós esetben az alábbi tétel ad igenlő választ a kérdésre. 

\begin{thm}
Ha $\vs{V}$ véges dimenziós vektortér, akkor minden $z_0$ $\vs{V}'$-n értelmezett lineáris funkcionálnak megfeleltethető egy $x_0$ vektor $\vs{V}$-ben, úgy, hogy $z_0(y)=[x_0,y]=y(x_0)$ minden $y$-ra a $\vs{V}'$-ben; az $z_0\rightleftarrows x_0$ megfeleltetés $\vs{V}''$ és $\vs{V}$ között izomorfizmus.
\end{thm}
\begin{proof}
Tekintsük a megfeleltetést mint ami $\vs{V}$-ből $\vs{V}''$-be képez; másképpen fogalmazva, minden $x_0$-nak a $\vs{V}$-ben megfeleltetünk egy $z_0$ vektort a $\vs{V}''$-ben, amelyet úgy definiálunk, hogy $z_0(y)=y(x_0)$ minden $y$-ra a $\vs{V}'$-ben. Mivel $[x,y]$ lineáris $x$-ben, az $x_0\rightarrow z_0$ transzformáció lineáris.

Most megmutatjuk, hogy a transzformáció injektív. Vagyis azt állítjuk, hogy ha $x_1$ és $x_2$ $\vs{V}$-ben van, és ha $z_1$ és $z_2$ a hozzájuk rendelt vektorok a $\vs{V}''$-ben (úgy, hogy $z_1(y)=[x_1,y]$ és $z_2(y)=[x_2,y]$ minden $y$-ra a $\vs{V}'$-ből.), továbbá $z_1=z_2$, akkor $x_1=x_2$. Az, hogy $z_1=z_2$, ugyanazt jelenti, mint $[y,z_1]=[y,z_2]$ minden $y$-ra a $\vs{V}'$-ből; a kívánt következtetést a (\ref{thm:dualinj}) tétel szolgáltatja.

Az utóbbi két bekezdésből együttesen következik, hogy azon $\vs{V}'$-n értelmezett $z$ lineáris funkcionálok halmaza (vagyis, $\vs{V}''$), amelyek a kívánt alakúak (vagyis, $z(y)$ azonosan egyenlő $[x,y]$-nal megfelelő $x$-re a $\vs{V}$-ben) alteret alkot $\vs{V}''$-vel, ami izomorf $\vs{V}$-ben, és, következésképpen, $n$-dimenziós. De mivel $\vs{V}$ $n$-dimenziós, következik, hogy $\vs{V}'$ is, amiből viszont következik, hogy $\vs{V}''$ is $n$-dimenziós. Ez azonban azt vonja maga után, hogy $\vs{V}''$-nek muszáj megegyeznie az imént jellemzett altérrel, így a tétel bizonyítása kész.
\end{proof}

Fontos észrevenni, hogy a tétel nem csak azt állítja, hogy $\vs{V}$ és $\vs{V}''$ izomorf -- ennyi triviálisan következik abból, hogy ugyanannyi dimenziósak -- de azt is, hogy a természetes megfeleltetés izomorfizmus. A vektorterek ezen tulajdonságát \emph{reflexivitásnak} nevezzük; minden véges dimenziós vektortér reflexív.

Gyakran kényelmes kissé feszínesnek lenni $\vs{V}''$-vel kapcsolatban: véges dimenziós vektorterek esetén $\vs{V}''$-t azonosítani fogjuk $\vs{V}$-vel (a természetes izomorfizmus segítségével), és azt fogjuk mondani, hogy $\vs{V}''$ egy $z_0$ eleme \emph{ugyanaz} mint $\vs{V}$ egy $x_0$ eleme, ha $z_0(y)=[x,y]$ teljesül minden $y$-ra a $\vs{V}'$-ben. Ezzel a nyelvezettel könnyedén ki lehet fejezni $\vs{V}$ egy $\vs{X}$ bázisa és a duális bázisának $\vs{V}''$-beli duális bázisa közti kapcsolatot; az $[x_i,y_j]=\delta_{ij}$ összefüggés szimmetriájából látszik, hogy $\vs{X}=\vs{X}''$.

%==================================================================================================
\section{Annihilátorok}
%==================================================================================================

\begin{defn}
Egy $\vs{V}$ vektortér $\vs{S}$ tetszőleges részhalmazának ($\vs{S}$-nek nem kell altérnek lennie) $\vs{V}^0$ \emph{annihilátora} azon $\vs{V}'$-beli $y$ vektorok halmaza, amelyekre $[x,y]$ azonosan nulla minden $x$-re az $\vs{S}$-ben.
\end{defn}
Tehát $\Zero^0=\vs{V}'$ és $\vs{V}^0=\Zero$ ($\subset{V}'$). Ha $\vs{V}$ véges dimenziós és $\vs{S}$ tartalmaz nemnulla vektort, vagyis $\vs{S}\neq\Zero$, akkor a (\ref{thm:dualinj}) tétel miatt $\vs{S}^0\neq\vs{V}'$.
\begin{thm}
Ha $\vs{M}$ egy $m$-dimenziós altere az $n$-dimenziós $\vs{V}$ vektortérnek, akkor $\vs{M}^0$ $(n-m)$-dimenziós altere $\vs{V}'$-nek.
\end{thm}
\begin{proof}
Az olvasóra bízzunk annak bizonyítását, hogy $\vs{M}^0$ (valójában $\vs{S}^0$, tetszőleges $\vs{S}$ esetén) mindig altér; mi csak az $\vs{M}^0$ dimenziójára vonatkozó állítást bizonyítjuk.

Legyen $\vs{X}=\{x_1,\ldots,x_n\}$ egy bázis $\vs{V}$-ben, amely első $m$ eleme $\vs{M}$-ben van (így bázist alkotnak $\vs{M}$-ben); legyen $\vs{X}'=\{y_1,\ldots,y_n\}$ a duális bázis $\vs{V}'$-ben. Jelöljük $\vs{N}$-nel azt az alteret ($\vs{V}'$-ben) amelyet az $y_{m+1},\ldots,y_n$ vektorok generálnak; $\vs{N}$ dimenziója nyiván $n-m$. Bebizonyítjuk, hogy $\vs{M}^0=\vs{N}$.

Ha $x$ tetszőleges vektor $\vs{M}$-ben, akkor $x$ felírható mint $x_1,\ldots,x_m$ lineáris kombinációja,
\[
	x=\sum_{i=1}^{m} \xi_i x_i, 
\]
továbbá, minden $j=m+1,\ldots,n$ esetén,
\[
	[x,y_j]=\sum_{i=1}^m \xi_i [x_i,y_j]=0.
\]
Más szavakkal, $y_j$ $\vs{M}^0$-ban van, minden $j=m+1,\ldots,n$-re; ebből következik, hogy $\vs{N}$-t tartalmazza $\vs{M}^0$,
\[
	\vs{N}\subset\vs{M}^0.
\]

Másfelöl tegyük fel, hogy $y$ tetszőleges eleme $\vs{M}^0$-nak. Mivel $y$ $\vs{V}'$-ben van, az $y_1,\ldots,y_n$ bázisvektorok lineáris kombinációja, 
\[
	y=\sum_{j=1}^n \eta_j y_j. 
\]
A feltételezés szerint $y$ $\vs{M}^0$-ban van, minden $i=1,\ldots,m$-re
\[
0=[x_i,y]=\sum_{j=1}^n \eta_j [x_i,y_j]=\eta_i;
\]
másképpen szólva, $y$ az $y_{m+1},\ldots,y_n$ vektorok lineáris kombinációja. Ez bizonyítja, hogy $y$ $\vs{N}$-ben van, és következésképpen azt is, hogy
\[
	\vs{M}^0\subset\vs{N},
\]
amelyból már következik a tétel állítása.
\end{proof}
\begin{thm}
Ha $\vs{M}$ egy altere a véges dimenziós $\vs{V}$ vektortérnek, akkor $\vs{M}^{00}=\vs{M}$. 
\end{thm}
\begin{proof}
Figyeljük meg, hogy az (\ref{sec:reflex}) bekezdés végi megállapodás szerint járunk el, amely azonosítja $\vs{V}$-t és $\vs{V}''$. Definíció szerint $\vs{M}^{00}$ azon $x$ vektorok halmaza, amelyre $[x,y]=0$ minden $y$-ra az $\vs{M}^0$-ból. $\vs{M}^0$ definícióját felhasználva $[x,y]=0$ minden $x$-re az $\vs{M}$-ből, minden $y$-ra az $\vs{M}^0$-ból, ebből pedig következik, hogy $\vs{M}\subset\vs{M}^{00}$. A kívánt következtetésre dimenziós okoskodással jutunk. Legyen $\vs{M}$ $m$-dimenziós; akkor $\vs{M}^0$ $(n-m)$-dimenziós, és $\vs{M}^{00}$ $n-(n-m)=m$-dimenziós. Tehát $\vs{M}=\vs{M}^{00}$, és ezt kellett bizonyítani.
\end{proof}

\exercises

\begin{exer}
Definiáljunk egy olyan nemnulla $y$ lineáris funkcionált $\Cmplx^2$-n, hogy ha $x_1=(1,1,1)$ és $x_2=(1,1,-1)$, akkor $[x_1,y]=[x_2,y]=0$.
\end{exer}
\bsol
Ha $x=\zeta_1 z_1 + \zeta_2 z_2 + \zeta_3 z_3$, akkor például $y(x)=\zeta_1-\zeta_2$ megfelel.
\esol


\end{document}
